加速度の向きはv-tグラフで理解できます!

力学
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taniten
taniten

今回は加速度について解説していくよ!

加「速度」ってことは、これも向きを持っていそうだね。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

加速度は、これ以降に学ぶ力学で非常に重要な物理量なんだ。
今回でしっかり理解しておこうね!

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加速度は\(v-t\)グラフで考えると分かりやすい

前回の記事で解説した\(v-t\)グラフを使用すれば、加速度がどのようなものか理解しやすくなります。

\(v-t\)グラフの面積は物体の変位を表すんだったね!

ふうた君
ふうた君

\(v-t\)グラフの例を考える前にまずは加速度についての簡単な説明をしておきますね。

時間とともに速度が変化する運動において、その変化率のことを加速度という。
時間\(\Delta t\)の間に速度が\(\Delta v\)だけ変化するときの加速度\(a\)は、
$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$
と表される。
・加速度の符号が正ならば、座標の正方向の速度が徐々に増加する(負方向の速度が徐々に減少する)
・加速度の符号が負ならば、座標の正方向の速度が徐々に減少する(負方向の速度が徐々に増加する)

速度と同じように加速度も座標の正方向に正の向きを持っています。
座標の向きと逆向きに加速度が働いていれば、加速度は負になります。

次に\(v-t\)グラフと加速度\(a\)の関係を見てみましょう。先ほども書いた通り加速度は\(\displaystyle a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)の形をしていて、これは\(v-t\)グラフにおける傾きになっていることがわかります。

taniten
taniten

これって、\(x-t\)グラフにおける傾きが速度\(v\)に相当していたのと似ていますよね。

\(x-t\)グラフについての記事はこちらをどうぞ。

なにはともあれ\(v-t\)グラフの例を見てみましょう。

前回と同様に、それぞれの時間ごとの運動の様子を見ていきましょう。

 1:時間\(0 \sim t_{1}\)のとき

まず注目するべき点として、前回解説した時の\(v-t\)グラフとは違ってグラフに傾きがあることが挙げられます。

速度は正負両方の符号を持っていますから、どちらの符号なのか、傾きがいくらなのかの2つを考えれば、物体の運動を理解する事ができます。

この時間における速度は常に正だから、座標の正方向に運動していることがわかります。
また加速度\(a_{1}\)は、\(\displaystyle a_{1} = \frac{v_{1}}{t_{1}} > 0\)なので、正方向の速度が徐々に増加します

taniten
taniten

速度が正なので正方向、加速度が正なので加速するんだね。

 2:時間\(t_{1} \sim t_{2}\)のとき

この時間における速度は常に\(v_{1} > 0\)で一定なので、正方向に等速直線運動します。
加速度\(a_{2}\)は、速度変化していないので、0となります。

加速度が0ってことは等速直線運動をするってことなのか。

ふうた君
ふうた君

 3:時間\(t_{2} \sim t_{3}\)のとき

この時間における速度は常に正だから、座標の正方向に運動していることがわかります。
また加速度\(a_{3}\)は、\(\displaystyle a_{3} = \frac{-v_{1}}{t_{3}-t_{2}} < 0\)なので、正方向の速度が徐々に減少します。

ここまでの時刻\(t = 0 \sim t_{3}\)の間は、加速度の変化はありつつも速度はずっと正だったので、\(x\)座標の正の方向に進んでいました。
次からは、\(x\)座標の負の方向に進む運動を考えることになります。

taniten
taniten

速度が正だから正方向、加速度が負なので減速するよ。

 4:時間\(t_{3} \sim t_{4}\)のとき

\(v-t\)グラフを見るとわかる通り、この時間における速度は常に負だから、座標の負方向に運動していることがわかります。
また加速度\(a_{4}\)は、\(\displaystyle a_{4} = \frac{v_{2}}{t_{4}-t_{3}} < 0\)なので、正方向の速度が徐々に減少します。

ここで注意しておきたいのは、速度\(v_{2}\)というのは符号が露わに見えていませんが、負の値であるという事です。

運動の方向が負方向で加速度が負ということは、すなわち負方向の速度が徐々に増加することと同じことなので、下の図のように運動していることになります。

このように加速度が負の場合には、速度が正ならば正方向に減速し、速度が負ならば負方向に加速していることになるので、加速度と速度の符号は2つとも確認するようにしましょう。

加速度が負だから減速していそうだけど、速度が負だから負方向に加速しているんだね!

ふうた君
ふうた君

 5:時間\(t_{4} \sim t_{5}\)のとき

この時間における速度は常に\(v_{2} < 0\)で一定なので、負方向に等速直線運動します。
加速度\(a_{5}\)は、速度変化していないので、0となります。

 6:時間\(t_{5} \sim t_{6}\)のとき

この時間における速度は常に負だから、座標の負方向に運動していることがわかります。
また加速度\(a_{6}\)は、\(\displaystyle a_{6} = \frac{-v_{2}}{t_{6}-t_{5}} > 0\)なので、正方向の速度が徐々に増加、すなわち負方向の速度が徐々に減少します。

taniten
taniten

最後は速度が負だから負方向、加速度が正なので減速するんだね。

以上のように、加速度運動する物体の運動を\(v-t\)グラフから求めることができました。

このように加速度を考えれば、身の回りの運動をもっとたくさん表現できそうですね。

それでは\(v-t\)グラフで加速度を考えるときのコツをおさらいしましょう!

 ・\(v-t\)グラフの傾きは物体の加速度を表す
 ・速度も加速度も正ならば、座標の正方向に加速しながら運動する
 ・速度が正、加速度が負ならば、座標の正方向に減速しながら運動する
 ・速度が負、加速度が正ならば、座標の負方向に減速しながら運動する
 ・速度も加速度も負ならば、座標の負方向に加速しながら運動する

けっこう紛らわしいですが、加速度の正の向きは座標の正方向と同じ向きであり、運動している向きと同じ向きなら物体は加速、運動している向きと逆向きなら物体は減速する、と考えれば大丈夫です。

結構紛らわしかったね。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

符号が少しややこしいんだけど、やっていくうちに慣れていくもの。
「習うより慣れろ」精神で頑張ろう!

コメント

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