a-tグラフは面積の意味を理解すれば十分!

力学
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taniten
taniten

今回は\(a-t\)グラフについての解説をしていくよ!

なんだか\(x-t\)グラフとか\(v-t\)グラフとか\(a-t\)グラフとか似たようなグラフがたくさんあって混乱しそう・・・。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

今回やる\(a-t\)グラフは試験で目にすることはあまり無いけど、後の記事で必ず必要になるグラフだよ!
その特徴をしっかり覚えておこうね!

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\(a-t\)グラフとは

これまでの\(x-t\)グラフ、\(v-t\)グラフなどと同様に、\(a-t\)グラフは加速度の時間変化の様子をグラフにしたものです。

\(x-t\)グラフ、\(v-t\)グラフについて知りたい方は、以下の記事をご覧くださいね。

早速例を見ていきましょう。

図のように横軸に時間\(t\)、縦軸に加速度\(a\)をとったものが\(a-t\)グラフです。

前にやった\(v-t\)グラフと同じような形をしていますね。

ふうた君
ふうた君

それではいつものように、それぞれの時間ごとの運動の様子を見ていきましょう。
なお、物体は\(t = 0\)で座標の正方向に動き出すものとします。

 1:時間\(0 \sim t_{1}\)のとき

この時間の加速度\(a_{1}\)は正の値なので、物体の
 ・速度が正ならば、座標の正方向に加速する
 ・速度が負ならば、座標の負方向に減速する
ことになります。

このように、加速度の符号だけでは物体が加速しているか減速しているかは判断できず、速度を考えて初めて運動の方向と加速度の働き方がわかることに注意しましょう。

今回の場合は物体は\(t = 0\)で座標の正方向に動き出すので速度が正、つまり物体は加速することになります。\(t = t_{1}\)のときの物体の速度を\(v = v_{1} > 0\)とします。

したがってこの時間の物体の運動は、下の図のようになります。

taniten
taniten

速度が正で加速度も正だから徐々に加速していくよ!

次に、この\(a-t\)グラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積に注目してみましょう。
この部分の面積は、\(a_{1}t_{1}\)となります。

ここで加速度は速度変化のことだから、\(\displaystyle a_{1} = \frac{v_{1}-0}{t_{1}}\)となります。
これを速度について書き直すと、\(v_{1}-0 = a_{1}t_{1}\)となります。

これは、\(a-t\)グラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積は、この間の速度変化を表しているということになるのです。

\(a-t\)グラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積を求めれば、物体がどれくらい速くなったかが分かっちゃうんだね!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

その通り!この先の時間でもそのようになっているかどうか、確認してみよう!

 2:時間\(t_{1} \sim t_{2}\)のとき

この時間の加速度\(a_{2}\)は0であり、時刻\(t = t_{1}\)で速度\(v = v_{1}\)であったことから、物体は速度\(v_{1}\)で等速直線運動をしていることがわかります。

したがってこの時間の物体の運動は、下の図のようになります。

また、この部分の\(a-t\)グラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積ですが、グラフから0であることがわかります。

そして、この時間において物体は等速直線運動をするので、速度変化も0であり、この場合も面積と速度変化が同じであることがわかります。

 3:時間\(t_{2} \sim t_{3}\)のとき

この時間の加速度\(a_{3}\)は負の値なので、物体の
 ・速度が正ならば、座標の正方向に減速する
 ・速度が負ならば、座標の負方向に加速する
ことになります。

時刻\(t = t_{2}\)で速度\(v = v_{1}\)であったことから、物体は正方向に減速していくことが予想できます。

したがってこの時間の物体の運動は、下の図のようになります。

taniten
taniten

速度が正で加速度が負だから徐々に減速していくよ!

上と同様に、この\(a-t\)グラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積に注目してみます。
この部分の面積は、\(a_{3}(t_{3}-t_{2}) < 0\)となります。

この時間の加速度は、\(\displaystyle a_{3} = \frac{0-v_{1}}{t_{3}-t_{2}}\)であり、速度変化に書き直すと\(-v_{1} = a_{3}(t_{3}-t_{2})\)となります。

これは上で求めたグラフの面積の値と一致し、さらに符号が負というところまで合っています。

以上より、\(a-t\)グラフと\(t\)軸で囲まれた面積がその時間での速度変化を表すということが確認できました。
また\(v-t\)グラフと同様に、\(t\)軸の下側にある部分の面積は負になることに注意しましょう。

下側の面積が負になるのは\(v-t\)グラフの時と一緒だね!

ふうた君
ふうた君

なぜ\(a-t\)グラフはあまり目にしない?

最初に書いた通り、\(a-t\)グラフは\(x-t\)グラフ、\(v-t\)グラフに比べるとあまり目にしません。

それは高校物理で扱う(というか大学でも)力学では、加速度の変化率を考えることがない、つまり\(a-t\)グラフのグラフは傾きは常に0であり、問題として出しづらいからだと思っています。

今後に出てくる物体の運動も、基本的に加速度が一定の運動になります。
\(x-t\)グラフ、\(v-t\)グラフよりも目にする頻度が少ないのは、これからは等加速度な運動を中心に扱っていくからなんですね。

ただし、等加速度な運動の公式を導く時に、\(a-t\)グラフは大活躍します。
その時まで待っていることにしましょう。

taniten
taniten

まあ次の記事でさっそく書くけどね

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