ボルツマン定数を使って状態方程式を書いてみる

熱力学
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taniten
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今回はボルツマン定数を使って状態方程式を表してみるよ!

ボルツマン定数?
前回は気体定数を使って状態方程式を書いてたよね?

ふうた君
ふうた君
taniten
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実は状態方程式は別の表し方で書くこともできるんだよ!

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ボルツマン定数で状態方程式を表す

原子質量単位

みなさんは原子や分子の質量がどのくらいか知っていますか?

例えば水素原子の質量は\(1.67\times 10^{-27} \mathrm{kg}\)です。

めちゃめちゃ小さい値なんだね。

ふうた君
ふうた君

ミクロな世界の物理を扱う上では質量の単位がkgのままだと、このような半端な値で計算しなければならなくなります。

そこで原子質量単位という質量の単位を新たに定義します。

原子質量単位は「質量数12の炭素の同位体\(^{12}C\)原子1個の質量の、\(\frac{1}{12}\)に等しい質量」と定義され、記号uを使って
$$1\mathrm{u}=1.66\times 10^{-27} \mathrm{kg}$$
と表されます。

12uが炭素原子の質量ってことだね。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

この単位を使えば、ミクロな世界の質量をシンプルに表すことができるんだよ。

アボガドロ定数

原子質量単位は確かに便利なのですが、現実世界で使う質量の単位として適しているとは言えませんよね。

我々の日常で使う質量の単位は、ふつうキログラム(kg)です。

したがって、このキログラムkgと原子質量単位uを簡単に行き来できるような定数を決めておく必要があります。

その定数がアボガドロ定数と呼ばれるものです。

アボガドロって、あのアボガドロの法則の人だね!

ふうた君
ふうた君

「質量1uを持つ粒子たち1gに含まれる粒子数」のことをアボガドロ定数といって、記号\(N_{A}\)で表します。
この粒子数こそが、前回の記事で解説した1molの物質量に含まれる粒子数\(6.02\times 10^{23}\)個なのです。

taniten
taniten

アボガドロの法則について触れている記事はこちらだよ!

つまり、「物質量1molに含まれる粒子の個数は\(6.02\times 10^{23}\)個で、この個数をアボガドロ定数\(N_{A}\)と定義する」ってこと!

\(N_{A}=6.02\times 10^{23}\)ってことだね!

ふうた君
ふうた君

ボルツマン定数で状態方程式を表す!

アボガドロ定数によって、ミクロな量とマクロな量を結べるようになりましたね。

\(n\)モルの気体に含まれる分子の個数を\(N\)とすると、\(N=nN_{A}\)と表すことができます。

ここで理想気体の方程式\(pV=nRT\)の物質量\(n\)の部分に、この式を代入すると、
$$pV=nRT=\frac{N}{N_{A}} RT=N\frac{R}{N_{A}} T$$
となります。

ここで\(k_{B}=\frac{R}{N_{A}}\)とおけば、状態方程式は
$$pV=Nk_{B}T$$
と表せます。

ここで出てくるk_{B}をボルツマン定数といい、その値は
$$k_{B}=\frac{R}{N_{A}}=1.38\times 10^{-23} \mathrm{J/K}$$
となります。

状態方程式を気体分子の個数\(N\)で表すこともできるってことか!

ふうた君
ふうた君
taniten
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問題に応じて、状態方程式を使い分けていこう!

まとめ

原子や分子の質量として、「質量数12の炭素の同位体\(^{12}C\)原子1個の質量の、\(\frac{1}{12}\)に等しい質量」を原子質量単位1uと定義する。
その値は、
$$1\mathrm{u}=1.66\times 10^{-27}\mathrm{kg}$$
である。

質量1uを持つ粒子たち1gに含まれる粒子数をアボガドロ定数いい、その値は
$$N_{A}=6.02\times 10^{23}$$
である。

ボルツマン定数\(k_{B}\)は
$$k_{B}=\frac{R}{N_{A}}=1.38\times 10^{-23} \mathrm{J/K}$$
と定義され、理想気体の状態方程式はボルツマン定数を用いて、
$$pV=Nk_{B}T$$
と表すこともできる。

taniten
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気体定数とボルツマン定数の関係はしっかり覚えておこう!

いつでも状態方程式を変形できるようにしておかないとね!

ふうた君
ふうた君

コメント

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