浮力の公式を導けますか?【アルキメデスの原理】

力学
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taniten
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今回は浮力について解説するよ!

浮力ってお風呂の湯船で感じるフワってした力?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

そうだよ!

なぜ浮力が働くのかも合わせて解説していくね!

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アルキメデスの原理

初めに,なぜ水の中で浮力が働くのかを解説します。

実はこれには,「アルキメデスの原理」という法則が深く関わっているのです。

アルキメデスって古代ギリシャのあのヒゲモジャの人?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

そうその人。

お風呂に入っているときに閃いたんだとさ。

アルキメデスの原理とは,
「液体や気体の中にある物体は,その物体が押し退けた流体と同じ大きさの力(浮力)を鉛直上向きに受ける」
という法則です。

ちょっと分かりにくいので,図で説明しますね。

上図のように水槽に水を入れて,その中に物体を沈めてみます。

すると「物体分の体積」だけ水が押し退けられ,図のように水位がカサ増しされ,物体にはそのカサ増し分の浮力が働きます。
これがアルキメデスの原理なのです。

具体的には浮力の大きさはどうなるんだろう?

ふうた君
ふうた君

浮力の大きさ

アルキメデスの原理から,物体が押し退けた流体分の重さだけ浮力が働きます。
下図をご覧ください。

底面積\(S\)で高さ\(h\)の円柱状の物体を,密度\(\rho\)の液体に沈めます。

円柱には四方八方から水圧がかかりますが,側面にかかる圧力は打ち消しあうので,上面と下面の圧力のみが残ります

上面と下面にかかる圧力をそれぞれ\(P,P’\)とすると,力のつり合いの式から浮力の大きさ\(F\)は,
$$F=P’S-PS$$
となります。

さらにアルキメデスの原理から,浮力の大きさは押し退けた液体の重さなので,
$$ F=\rho Shg$$
となります。物体の体積を\(V\)とすれば,
$$F=\rho Vg$$
ですね。

これら2つの式から,上面と下面の圧力差は,
$$P’-P=\rho hg$$
ということになります。
これより,圧力差は物体を沈める深さによらないことが分かりますね。

taniten
taniten

浮力の式\(F=\rho Vg\)を見るとわかるように,体積が同じであれば物体の材質によらず,浮力の大きさは同じになるよ。

浮力の大きさは物体の材質じゃなくて,周りの液体の密度に依存するんだね!

ふうた君
ふうた君

まとめ

アルキメデスの原理とは,
「液体や気体の中にある物体は,その物体が押し退けた流体と同じ大きさの力(浮力)を鉛直上向きに受ける」
という法則である。

密度\(\rho\)の液体に体積\(V\)の物体を沈めたとき,物体に働く浮力の大きさ\(F\)は,
$$F=\rho Vg$$
となる。ここで\(g\)は重力加速度である。

taniten
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浮力という力の裏側には,アルキメデスの原理という法則があることを覚えておきましょう。

知ってるとなんかかっこいいよね!

ふうた君
ふうた君

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