コンデンサー内部の電場の式と静電容量を解説!

電磁気学
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taniten
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今回はコンデンサーについて解説するよ!

コンデンサーって回路とかに使われてるやつ?

ふうた君
ふうた君
taniten
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そうだよ。
基本的なコンデンサーの構造をみていこう!

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コンデンサーの役割

コンデンサーとは電荷を蓄えたり、放電したりすることができる回路素子です。
英語ではキャパシタといいます。

この性質によって回路内で様々な役割をこなすことができますが、今回は「電荷を蓄える」というコンデンサーの最も基本的な性質を見ていきましょう。

どうやって電荷を蓄えるんだろう?

ふうた君
ふうた君

コンデンサーの基本構造

コンデンサーの基本構造は、上の図のように誘電体を2枚の導体板で挟んだものになっています。

taniten
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誘電体は不導体のこと。不導体についてはこちらの記事も参考にしてね!

この2枚の導体板にそれぞれ\(+Q\)、\(-Q\)の電気量を与えると、下の図のように誘電体を通して電場が発生しますね。

この導体板の面積を\(S\)、導体板間の距離を\(d\)、導体板間の電位差を\(V\)、誘電体の誘電率を\(\varepsilon\)とします。

このとき、電場の大きさ\(E\)はどうなるでしょうか?

taniten
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次の章でこの電場の大きさを求めてみよう!

2枚の導体板がつくる電場

電場を求めるにはクーロンの法則を用いた方法もありますが、今回の場合はこちらの記事でやった電気力線による定義を用います。

面積\(S\)の面を垂直に貫く電気力線の数が\(N\)のときの電場の大きさ\(E\)は、
$$E=\frac{N}{S}$$
で表されるのでした。

さらにガウスの法則から、電気力線の数\(N\)は
$$N=4\pi kQ=\frac{Q}{\varepsilon}$$
と表されるのでした。

ガウスの法則は、閉曲面の内部から出てくる電気力線についての式だったね!

ふうた君
ふうた君

この2式を組み合わさると、導体板で挟まれた誘電体に発生する電場\(E\)は、
$$E=\frac{Q}{\varepsilon S}$$
となります。

taniten
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下図のように上側の導体板だけを閉曲面内に入れると、ガウスの法則から上の電場の式が成り立つことがわかるね!

電場と電位差の関係

次に、この導体板間の電場\(E\)を電位差\(V\)で表すことを考えます。

電位の単位はボルト\([\mathrm{V}]\)で表され、電場の大きさ\(E\)とは
$$[\mathrm{E}]=\left[\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}\right]$$
の関係にあります。

したがって、今回のコンデンサー内部の誘電体に生じる電場の大きさ\(E\)は、
$$E=\frac{V}{d}$$
となります。

taniten
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電場の大きさには色々な単位があるから、出てくるたびに確認するくせをつけておこう!

コンデンサーの静電容量

突然ですが、コンデンサーの「電荷を蓄える能力」を表す量として、静電容量\(C\)を定義します。

静電容量が大きいほど、電荷を多く蓄えられることになります。

この貯められる電気量\(Q\)は静電容量\(C\)と電位差\(V\)に比例すると考えて、
$$Q=CV$$
という式を考えることができます。

電位差が大きければその分たくさんの電荷が導体板に入り込めるんだね!

ふうた君
ふうた君
taniten
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静電容量の単位にはファラド\([\mathrm{F}]\)が使用されるよ!

ここでもう一度コンデンサーの図を見てみましょう。

静電容量の式と電場の式の2つを組み合わせれば、コンデンサーの静電容量\(C\)は、
$$C=\varepsilon \frac{S}{d}$$
で表されることがわかります。

つまり導体板の面積が大きく、導体板間の距離が短いほど、多くの電荷を蓄えることができるのです。

まとめ

電荷を蓄えたり放電したりする回路素子をコンデンサーといい、2枚の導体板で誘電体を挟んだ構造をしている。

導体板で挟まれた誘電体に発生する電場の大きさ\(E\)は、
$$E=\frac{Q}{\varepsilon S}$$
であり、導体板間の電位差\(V\)を用いて表すと、
$$E=\frac{V}{d}$$
となる。

コンデンサーの電荷を蓄える能力は静電容量\(C\)で表され、
$$Q=CV$$
の関係がある。単位はファラド\([\mathrm{F}]\)である。
またコンデンサー内部の電場の大きさ\(E\)と静電容量\(C\)の間には、
$$C=\varepsilon \frac{S}{d}$$
の関係が成り立つ。
taniten
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コンデンサーは色々な問題に応用されるから、その構造をしっかり理解しておこう!

もう一回復習するぞ!

ふうた君
ふうた君

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