コンデンサーの静電エネルギーの公式を導出してみよう!

電磁気学
スポンサーリンク
taniten
taniten

今回はコンデンサーに蓄えられるエネルギーを解説するよ!

どれくらいのエネルギーが蓄えられるんだろう?

ふうた君
ふうた君
スポンサーリンク

コンデンサーのエネルギー

微小電荷を移動させる

コンデンサーは電荷を蓄えることができる素子でしたね。

ということで、静電容量\(C\)のコンデンサーに\(\pm q\)の電荷を蓄えてみましょう。

taniten
taniten

コンデンサーと静電容量についてはこちらの記事を参考にしてね!

上の導体板に\(+q\)、下の導体板に\(-q\)の電荷を加えて、このときの電位差が\(v\)であるとします。

下の導体板から上の導体板へ、微小電荷\(\Delta q\)を移動させてみます。

このとき微小電荷\(\Delta q\)を移動させるのに必要な仕事\(\Delta W\)は、
\begin{eqnarray}
\Delta W&=&v\Delta q\\
&=&\frac{q}{C}\Delta q
\end{eqnarray}
となります。

この仕事\(\Delta W\)をグラフで描くと、以下のような長方形で表せることがわかると思います。

\(\Delta W=v\Delta q\)だから、\(V-Q\)グラフの面積に相当するんだね!

ふうた君
ふうた君

電荷を移動させていくと・・・

それではもう一度微小電荷を移動させましょう。

ここで注意すべき点は、さきほど微小電荷\(\Delta q\)が移動したことによって、電位差が\(v\)から少し大きくなっているということです。
この時の電位差を\(v’\)とします\((v<v’)\)。

微小電荷\(+\Delta q\)が移動したことによって、電位差が大きくなっています。

したがって、新たに微小電荷を移動させるにはより大きな仕事が必要になるのです。
この時に必要な仕事\(\Delta W’\)とすると、以下のグラフのようになります。

taniten
taniten

この調子で電荷をどんどん移動させていくよ!

最終的に上の導体板が\(q+\Delta Q\)の電荷を蓄えるまで微小電荷を移動させると、グラフは下のようになります。

初めに電荷がなかったら?

それでは初め、コンデンサーが充電されていなかったらどうでしょうか?

上下の導体板は帯電していないため、上のグラフの\(q\)が原点\(0\)に移動します。

これまでと同じ操作を繰り返し、上の導体板が\(+Q\)になるまで微小電荷を移動させます。
このとき、グラフは以下のようになります。

微小電荷\(\Delta q\)をどんどん小さくすれば、グラフは以下のようになります。

つまり「帯電していないコンデンサーについて微小電荷を移動させ、コンデンサー全体に\(\pm Q\)の電荷を蓄えさせるのに必要な仕事\(W\)」は、
$$W=\frac{1}{2} QV$$
となります。

このコンデンサーに加えた仕事\(W\)分が、コンデンサーに蓄えられたエネルギー\(U\)に相当するのです。

taniten
taniten

仕事を加えたらエネルギーが蓄えられるんでしたよね!

式を変形していく

これまでの考察から、コンデンサーに蓄えられたエネルギー\(U\)は
$$U=\frac{1}{2} QV$$
となることが分かりました。

ここで\(Q=CV\)を用いれば、
$$U=\frac{1}{2} QV=\frac{1}{2} CV^{2}=\frac{Q^{2}}{2C}$$
となり、どの式を使っても同じ意味となります。

最初の式さえ覚えていれば、後の式も導出できるね!

ふうた君
ふうた君

まとめ

静電容量\(C\)のコンデンサーに電気量\(Q\)の電荷が蓄えられ、電位差が\(V\)のときにコンデンサーに蓄えられているエネルギー\(U\)は、
$$U=\frac{1}{2} QV=\frac{1}{2} CV^{2}=\frac{Q^{2}}{2C}$$
となる。
taniten
taniten

問題に応じてエネルギーの式は使い分けよう!

今回は少し難しかったから、もう一回見直すね。

ふうた君
ふうた君

コメント

タイトルとURLをコピーしました