コンデンサーの極板に働く力を計算してみよう!【エネルギーとの関係】

電磁気学
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taniten
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今回はコンデンサーの極板に働く力を計算してみよう!

電場から力を受けるってことかなあ?

ふうた君
ふうた君
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コンデンサーに働く力

極板が作る電場\(E\)

コンデンサーは電荷を蓄えることのできる素子でしたね。

下図のように極板面積\(S\)、極板間隔\(d\)の平行平板コンデンサーに\(\pm Q\)の電荷を与えてみましょう。

ここで下の極板が作る電場\(E\)を計算しましょう。

上図のように下の極板を閉曲面で覆います。

この閉曲面内の電荷は\(-Q\)、閉曲面を貫いている電気力線が占める面積は、極板の表裏に渡っているので\(2S\)となります。

ガウスの法則から、電気力線の数を\(N\)とすると、
$$E=\frac{N}{S}=-\frac{Q}{2\varepsilon_{0} S}$$
となります。ここで\(\varepsilon_{0}\)は真空の誘電率です。

taniten
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ガウスの法則については以下の記事を参考にしてね!

極板が受ける力\(F\)

こちらの記事で解説したように、電気量\(Q\)の電荷が電場\(E\)の中にあるとき、電荷に働く力の大きさ\(F\)は、
$$F=QE$$
となるのでした。

上の極板に蓄えられた電荷は\(Q\)であり、下の極板による電場\(E\)の中にあるので、下の極板が受ける力の大きさ\(F\)は、
\begin{eqnarray}
F&=&QE\\
&=&\frac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0}S}
\end{eqnarray}
となります。

「力の大きさ」だから、負の符号は外して考えるんだね!

ふうた君
ふうた君

少しずつ極板を動かすと?

極板が受ける力の大きさ\(F\)は、\(\displaystyle F=\frac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0} S}\)と表されることが分かりました。

この式には、極板間隔\(d\)が含まれていないことがわかります。

つまり、平行平板コンデンサーの極板に働く力はその極板間隔に依存しないのです。

下図のように極板が限りなく近い状態から、極板間隔\(d\)になるまで上の極板を引き上げてみましょう。

上の極板は下向きに力\(F\)を常に受けるので、距離\(d\)だけゆっくり上に引き上げたときに外力が極板に及ぼす仕事\(W\)は、
$$W=Fd=\frac{dQ^{2}}{2\varepsilon_{0} S}$$
となります。

ここでコンデンサーの静電容量は\(\displaystyle C=\frac{\varepsilon_{0}S}{d}\)なので、
\begin{eqnarray}
W&=&\frac{dQ^{2}}{2\varepsilon_{0} S}\\
&=& \frac{Q^{2}}{2C}
\end{eqnarray}
となります。

これは前回の記事でやった静電エネルギーの式と同じ形であることがわかります。

すなわち、コンデンサーの極板を移動させたとき、外力が加えた仕事は静電エネルギーの変化に等しくなるのです。

taniten
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加えた仕事分、エネルギーが増減するんだね!

これもエネルギー保存の一種ってことだね!

ふうた君
ふうた君

まとめ

電気量\(Q\)が蓄えられた面積\(S\)のコンデンサー極板に働く力の大きさ\(F\)は、
$$F=\frac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0}S}$$
となる。
コンデンサーの極板を移動させたとき、外力が加えた仕事は静電エネルギーの変化に等しい
taniten
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色々な知識が繋がってきたのが実感できたかな?

電磁気学って奥が深いね!

ふうた君
ふうた君

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