ボイル・シャルルの法則を導出して計算問題を解いてみよう

熱力学
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taniten
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今回は前回まで解説した「ボイルの法則」と「シャルルの法則」を組み合わせた、「ボイル・シャルルの法則」を解説していくよ!

名前もそのまま組み合わせただけで分かりやすいね!

ふうた君
ふうた君
taniten
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具体的な計算問題も解説していくね!

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ボイル・シャルルの法則

taniten
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まだボイルの法則やシャルルの法則について理解していない方は、そちらの記事を先に見てみて下さいね。

ボイルの法則はこちら。

シャルルの法則はこちら。

理想気体って何?

上の記事で解説しているボイルの法則やシャルルの法則は、理想的な想像上の気体においてしか成り立ちません。
この気体のことを理想気体といいます。

理想気体は温度を0[K]にしたときに体積が0になる気体のことですが、実際の気体分子は大きさや質量があるので、絶対零度にしても体積は0にはなりませんよね。

しかし実際はほとんどの気体を理想気体とみなして、ボイルの法則やシャルルの法則を適用して計算を行うことができます。

実際の気体は理想気体ではないのに、ボイルの法則やシャルルの法則を使えるのは何でなの?

ふうた君
ふうた君
taniten
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僕たちが暮らす環境では気体の温度は高く、活発に運動している。
だから分子間力や相互作用はほとんど無視できて、理想気体として取り扱っても大きな誤差が出ないからなんだ。

ここで、実際の気体のように互いに分子間力が働いたり相互作用する気体のことを実在気体と言ったりします。

ボイル・シャルルの法則を導出!

それではボイルの法則とシャルルの法則から、ボイル・シャルルの法則を導出してみましょう。

圧力\(p_{1}\)、体積\(V_{1}\)、温度\(T_{1}\)の一定量の理想気体を考えます。

初めに温度を\(T_{1}\)で一定に保ちつつ、圧力を\(p_{1}\)から\(p_{2}\)に変化させた場合を考えましょう。

これはボイルの法則だね!

ふうた君
ふうた君

ボイルの法則より、このとき体積が\(V’\)になったとすると、
$$p_{1}V_{1}=p_{2}V’\tag{1}$$
が成り立ちます。

この状態から今度は圧力を\(p_{2}\)で一定に保ちつつ、温度を\(T_{1}\)から\(T_{2}\)に変化させてみましょう。

taniten
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こっちはシャルルの法則ですね。

シャルルの法則より、このとき体積が\(V_{2}\)になったとすると、
$$\frac{V’}{T_{1}}=\frac{V_{2}}{T_{2}}\tag{2}$$
が成り立ちます。

式(1)と式(2)を組み合わせると、
$$\frac{p_{1}V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}V’}{T_{1}}=\frac{p_{2}V_{2}}{T_{2}}$$
となります。

これは、一定量の理想気体においては\(\displaystyle \frac{pV}{T}\)が一定であることを表しています。
これがボイル・シャルルの法則なのです。

一定量の理想気体において、気体の体積\(V\)は圧力\(p\)に反比例し、絶対温度\(T\)に比例する。
すなわち、

 $$\frac{pV}{T}=\verb|一定|$$
が成り立つ。これをボイル・シャルルの法則という。

名前だけでなく、式自体も2つの法則を組み合わせた形になってるんだね。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

この式さえ覚えていれば、前の2つの法則もカバーできるね。

例題と解説

問題

\(27\,\mathrm{℃}\)で体積が\(3.0\,\mathrm{L}\)、圧力が\(1.0\times 10^{5}\,\mathrm{Pa}\)の気体がある。この気体が\(127\,\mathrm{℃}\)、\(8.0\,\mathrm{L}\)のとき、圧力は何Paか。

taniten
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ポイントは温度を絶対温度に変換すること!
セルシウス温度と絶対温度の関係は以下の記事を参考にしてね!

解答と解説

まず温度を絶対温度に変換しましょう。

絶対温度はセルシウス温度に273.15を足したものでしたね。
小数点以下の数字は0.15と小さいので、簡単にするために273のみを足すことにしましょう。

taniten
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初めから273を足すことにしている教科書もあったりするよ。

したがって\(27\,\mathrm{℃}\)は絶対温度では\(300\,\mathrm{K}\)、\(127\,\mathrm{℃}\)は絶対温度では\(400\,\mathrm{K}\)となるのでボイル・シャルルの法則より、
\begin{align}
\qquad \frac{1.0\times 10^{5} \times 3.0}{300} = \frac{p \times 8.0}{400}\\
\Longleftrightarrow p=\frac{1.0\times 10^{5} \times 3.0\times 400}{300\times 8.0}
\end{align}
となります。これを計算すると、求める圧力\(p\)は、
$$p=5.0\times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$$
となります。

絶対温度に気をつければ簡単な計算問題だね!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

場合によっては有効数字などを考慮して、答えを丸めなければならない問題もあるよ。

まとめ

再度ボイル・シャルルの法則について復習していきましょう。

一定量の理想気体において、気体の体積\(V\)は圧力\(p\)に反比例し、絶対温度\(T\)に比例する。
すなわち、

 $$\frac{pV}{T}=\verb|一定|$$
が成り立つ。これをボイル・シャルルの法則という。
taniten
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試験でもよく出る法則だからしっかり理解しておこうね!

計算もできるようにしっかり問題解いておこうっと!

ふうた君
ふうた君

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