次元解析を知っていると物理の試験で誤答が減ります

力学
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taniten
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今回は、次元解析について解説していくよ!

なんかカッコいいけど難しそう・・・。

ふうた君
ふうた君
taniten
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次元解析の問題が試験で出ることはないけど、これを使えば試験で自分が出した答えが間違っているかどうかを簡単に確かめる事ができるよ!

答えが適切かどうかが判断できるってことだね!
よ〜し、マスターするぞ〜!

ふうた君
ふうた君
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次元とは?

まずそもそも次元とは何かについて解説していきます。

前回の記事で、物理量は単位を持っていることを解説しました。
この単位というのは、現実世界の概念を数学の世界に持ち込むための基準となる量のことでしたね。

例えば長さなら「m(メートル)」、時間なら「s(秒)」といった単位を使って、測定値を表します。

ここで考えてみて欲しいんですけど、例えば長さの単位ってメートルだけじゃないですよね。メートルの他に「cm(センチメートル)」や「km(キロメートル)」、またアメリカではメートルの代わりに「インチ」という単位が標準で使用されています。

このように、一口に長さの単位といっても様々なものが存在しているのです。

taniten
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これは時間でも質量でも同じで、その場その場に応じて適切な単位が選ばれて使用されているんだね。

でも、長さの単位がメートルだろうがキロメートルだろうが、等加速度直線運動の公式の形がそれに応じて変わってしまうということはないですよね。

物理の世界では単位の種類によらず、「長さ」なら「長さ」の性質、「時間」なら「時間」の性質、「質量」なら「質量」の性質をもった量がそれぞれ独立に存在していて、それらを具体的に個別の単位で表現するのではなく、\([\mathrm{L}]\)、\([\mathrm{T}]\)、\([\mathrm{M}]\)のように次元として考えて表す事があります。

taniten
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次元を書くときは、その性質を表す文字(長さならL、時間ならT、質量ならM)を大括弧[]で囲みます。

言い換えると、例えば長さの次元\([\mathrm{L}]\)をもつ物体の単位には、メートルとかインチとか様々な種類があって、その場その場で適切な単位を使う事ができるという事です。

つまり次元は、「長さ」「時間」「質量」のような物体の性質を表しているということなのか。

ふうた君
ふうた君

高校の力学ではこれら3つの次元だけを駆使して、様々な次元を作り上げる事ができます。ですから、しばらくの間はこれら3つの次元だけ把握しておけば大丈夫です。

例えば速度なら\([\mathrm{LT^{-1}}]\)、加速度なら\([\mathrm{LT^{-2}}]\)のようにそれぞれの次元を表す事ができます。
この3つの次元のことを、基本次元と言ったりもしますね。

次元解析で誤答が減らせる!

この次元の考え方を使って、等加速度直線運動の時刻\(t\)における速度を求める公式\(v=v_{0}+at\)について、左辺と右辺の次元をそれぞれ確認してみましょう。

左辺はただの速度なので、次元は\([\mathrm{LT^{-1}}]\)です。

右辺は、\([\mathrm{LT^{-1}}]+[\mathrm{LT^{-2}}]\times [\mathrm{T}]=[\mathrm{LT^{-1}}]+[\mathrm{LT^{-1}}]\)となります。
ここで注意したいことは、次元が\(2[\mathrm{LT^{-1}}]\)のように定数倍になることはないということで、右辺の次元も\([\mathrm{LT^{-1}}]\)となります。
右辺の次元が速度の次元である\([\mathrm{LT^{-1}}]\)だけで構成されているということが大切です。
等加速度直線運動の速度の公式は左辺と右辺の次元が同じになっている事がわかりました。

これ以外にも物理で出てくる公式や法則の左辺と右辺の次元は、必ず等しくなっているんです。

taniten
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運動方程式、エネルギー保存則、熱力学第1法則、クーロンの法則・・・、全て左辺と右辺の次元が等しいんです。

この性質を使えば、方程式の立て方がわからなくなったときや、試験で答えを導いた時に、求める答えの次元と求めた答えの次元が一致していなかったら、その答えは不正解ということになります。

例えば最終的に速度を答える問題があったとして、あなたが出した答えが\(\displaystyle \frac{mg}{M+m}\)だったとしましょう。
このとき\(M\)と\(m\)は物体の質量で\(g\)は重力加速度です。

この答えの次元は、\(\displaystyle \frac{[\mathrm{M}]\times [\mathrm{LT^{-2}}]}{[\mathrm{M}]}=[\mathrm{LT^{-2}}]\)となります。
これは加速度の次元で速度の次元ではないので、答えが間違っている事がわかります。

解き方を間違っているのかもしれませんし、単純に時間の次元を持つ量をかけ忘れているだけかもしれません。
このように次元を使って、その量の性質を考えたり計算結果の確認を行う方法を、次元解析というのです。

taniten
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答えに自信がないときや、見直しの時にぜひ次元解析を使ってみてはいかがでしょうか。

今度の試験でさっそくやってみようっと!

ふうた君
ふうた君

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