電気力線とガウスの法則を解説!

電磁気学
スポンサーリンク
taniten
taniten

今回は電気力線の定義と、ガウスの法則を解説するよ!

電磁気学は新しい定義や法則がたくさん出てくるね。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

なじみ薄いかもしれないけど、図でしっかり理解しよう!

スポンサーリンク

電気力線

電気力線の定義とは?

まずは電気力線の定義を確認しましょう。

電気力線は電荷がある場所で発生し、正の電荷から発せられるか、負の電荷へ向かう曲線のことである。

定義のように、電気力線は電荷がないところには発生しません。

必ず電荷とともに現れ、それが正の電荷なら電荷から遠ざかる方向に、負の電荷なら電荷に向かう方向にできます。

taniten
taniten

電気力線の各点における接線の方向は、その点での電場の向きに一致するよ。

上の電荷の図に書かれた電場の矢印も、電気力線ってことだね!

ふうた君
ふうた君

電気力線の密度を式で表す

このように電気力線は電場と深い関係にあるわけですが、実は電場の強さを「電気力線の数」で定義することもできます。

電場の強さ\(E\)は、面積\(S\)の面を垂直に貫く電気力線の数\(N\)を用いて、
$$E=\frac{N}{S}$$
と表される。

単位面積当たりの電気力線の数が、その点の電場の強さになるってこと?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

その通り。
ただ「電気力線の数」といっても本数を1本1本考えているわけではないんだよ。

電気力線の数\(N\)の単位は?

上の定義で出てきた「電気力線の数」とは、みなさんが鉛筆の数を数えるときに1本2本と考える場合とは全く異なるので注意しましょう。

試しに、電場の強さ\(E\)と面積\(S\)から\(N\)の次元解析をしてみましょう。

面積の単位は\(\mathrm{m^{2}}\)だから次元は\([\mathrm{L^{2}}]\)、電場の強さの単位は\(\mathrm{N/C}=\mathrm{kg\cdot m/(A\cdot s^{3})}\)だから次元は、\([\mathrm{LMA^{-1}T^{-3}}]\)となります。

ふうた君
ふうた君

したがって電気力線の数\(N\)の単位は
\begin{eqnarray*}
N&=&SE\\
&=&[\mathrm{L^{2}}][\mathrm{LMA^{-1}T^{-3}}]\\
&=&[\mathrm{L^{3}MA^{-1}T^{-3}}]
\end{eqnarray*}
となります。

taniten
taniten

質量や電流のように、本数とは全く結びつかない次元で構成されていることがわかるね。

「電気力線の数」っていうのはあくまでもイメージ上での表現ってことだね!

ふうた君
ふうた君

ガウスの法則

ガウスの法則とは?

電気力線の定義を確認したところで、次は電荷のまわりを覆っている面全体を貫く電気力線を考えてみましょう。

電気量\(Q\)の電荷を中心とする半径\(r\)の球を考えます。

このとき、この球面上を貫く電気力線の数\(N\)は以下のように定義されます。

電気量\(Q\)の電荷を中心とする半径\(r\)の閉曲面を貫く電気力線の数\(N\)は、
$$N=4\pi kQ$$
と定義される。ここで\(k\)はクーロン定数である。

\(4\pi kQ\)はどこから出てきたの?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

球の表面積\(4\pi r^{2}\)と、点電荷が作る電場の強さ\(k\frac{Q}{r^{2}}\)の関係からわかるんだけど、厳密な処理は実は大学の電磁気学で習うので、ここでは上式を認めた上で読み進めてほしいのです。

新たな定数「誘電率」

最後にとても大事な定数を定義しましょう。

物質の誘電率\(\varepsilon\)は、クーロン定数\(k\)を用いて、
$$\varepsilon =\frac{1}{4\pi k}$$
と表される。

この誘電率ってなんなの?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

その空間と電気的な力の関係を表す定数だと思ってもらえばいいよ。

この誘電率は頻繁に出てくるので、クーロン定数との関係をしっかり確認しておきましょう。

まとめ

電気力線は電荷のある場所で発生し、正の電荷から発せられるか、負の電荷へ向かう曲線のことである。

電場の強さ\(E\)は、面積\(S\)の面を垂直に貫く電気力線の数\(N\)を用いて、
$$E=\frac{N}{S}$$
と表される。

電気量\(Q\)の電荷を中心とする半径\(r\)の閉曲面を貫く電気力線の数\(N\)は、
$$N=4\pi kQ$$
と定義される。
ここで\(k\)はクーロン定数で、誘電率\(\varepsilon\)は
$$\varepsilon =\frac{1}{4\pi k}$$
と表される。

今回は色々な定義が出てきて大変だったね。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

定義は覚えるのは大変だけど、問題を解く上での基本になるから、こまめに復習しよう!

コメント

タイトルとURLをコピーしました