理想気体の状態方程式を気体定数で表してみよう!

熱力学
スポンサーリンク
taniten
taniten

今回は理想気体の状態方程式について解説していくよ!

熱力学で方程式が出てくるのはこれが初めてだね。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

そうだね。
とても重要なところだから、しっかり理解していこうね!

スポンサーリンク

理想気体って何だっけ?

状態方程式の解説の前に、理想気体について簡単に復習しましょう。

理想気体とは、温度を0[K]にしたときに体積が0になる気体のことでしたね。

現実の気体分子は大きさを持っているため、体積が0になることはありませんが、大抵の場合は理想気体とみなして計算しても誤差が小さいのです。

taniten
taniten

この辺の話は以下の記事も参考にしてね。

状態方程式を気体定数で表す!

アボガドロの法則

まずはアボガドロの法則について解説します。

アボガドロの法則とは、「同一圧力・同一温度下では、気体の種類によらず、同じ体積に同じ量の気体分子が存在する」という法則です。

ではどれくらいの体積にどれくらいの気体分子が存在するか気になりますよね?

具体的には温度0℃、1気圧下では、どんな種類の気体であっても22.4Lの体積に
約602000000000000000000000個の気体分子
が含まれています。

ええっ!
ちょっと0が多すぎてよく分かんないよ〜

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

わかりやすいように書き換えると、22.4L中に\(6.02\times 10^{23}\)個の気体分子が含まれていることになるよ!

酸素でも水素でも、膨大な量の同じ数の分子が含まれているんだね。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

ちなみに「温度0℃、1気圧」の状態を標準状態と言うよ。

物質量

次に物質量という考え方の解説をします。

先ほど解説したように、22.4Lの中に含まれる気体分子の個数は\(6.02\times 10^{23}\)個でした。

この個数を1つの基準として、新たな単位を考えます。それが物質量です。

物質量の単位はmol(モル)で、1molあたり\(6.02\times 10^{23}\)個の原子・分子が含まれます。

ということは、2molなら2倍の\(1.2\times 10^{24}\)個、0.5molなら半分の\(3.01\times 10^{23}\)個の原子・分子が含まれるんだね!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

この辺りの話は化学の教科書も合わせて読んでみてね!

状態方程式を導出!

それではボイル・シャルルの法則
$$\frac{pV}{T}=\verb|一定|=k$$
から、理想気体の状態方程式を導出しましょう。

標準状態(温度0℃、1気圧、体積22.4L)のときの値を代入して、具体的な\(k\)の値を求めることにしましょう。

温度0℃は\(273\,\mathrm{K}\)、1気圧は\(1.013\times 10^{5}\,\mathrm{Pa}\)、体積22.4Lは\(2.24\times 10^{-2}\,\mathrm{m^{3}}\)なので、
\begin{align}
k&=\frac{pV}{T}\\
&=\frac{1.013\times 10^{5}\times 2.24\times 10^{-2}}{273}\\
&=\frac{1.013\times 2.24}{273} \times 10^{3}\\
&\simeq 8.31
\end{align}
となります。

ここで、kの単位も次元解析で求めてみましょう。kの単位は、
\begin{align}
k&=\frac{\mathrm{[Pa]}\times \mathrm{[m^{3}]}}{\mathrm{[K]}}\\
&=\frac{\mathrm{[N/m^{2}]}\times \mathrm{[m^{3}]}}{\mathrm{[K]}}\\
&=\frac{\mathrm{[N]}\times \mathrm{[m]}}{\mathrm{[K]}}\\
&=\mathrm{[J/K]}
\end{align}
となることがわかります。

ただ、今は1molの場合を計算したにすぎません。

実際はこれを物質量当たりの単位に直す必要があるので、上の単位を物質量の単位molで割る必要があります。

したがって、\(k\)の単位は\(\mathrm{[J/(mol・K)]}\)となります。

この\(k\)は気体定数という特別な名前がついていて、\(R\)で書きます。
つまり、気体定数\(R\)は
$$R=8.31\,\mathrm{J/(mol・K)}$$
となります。

ここで元のボイル・シャルルの法則を振り返ってみると、\(\displaystyle \frac{pV}{T}\)の単位は\(\mathrm{[J/K]}\)ですね。

しかし気体定数の単位の分母にはmolがありました。
したがって気体定数に物質量\(n\)を掛けて、単位を左右で等しくする必要があります。

すなわち、
$$\frac{pV}{T}=nR$$
となります。

この式の両辺に温度\(T\)を掛けてあげた、
$$pV=nRT$$
を、理想気体の状態方程式と言います。

長々と計算してきたけど、式の形自体はシンプルなんだね。

ふうた君
ふうた君

まとめ

同一圧力・同一温度下では、気体の種類によらず、同じ体積に同じ量の気体分子が存在する」という法則を、アボガドロの法則という。

標準状態(温度0℃、1気圧下)では、空気中の体積22.4L中\(6.02\times 10^{23}\)個の気体分子が含まれる。

物質量の単位はmol(モル)で、1molあたり\(6.02\times 10^{23}\)個の気体分子が含まれる。

物質量\(n\)の理想気体の温度\(T\)、圧力\(p\)、体積\(V\)が満たすべき状態方程式は、
$$pV=nRT$$
である。

ただし\(R\)は気体定数で、その値は
 $$R=8.31\,\mathrm{J/(mol・K)}$$
である。
taniten
taniten

今回やった状態方程式はめちゃくちゃ重要だから、絶対忘れないようにしてね!!

呪文のように唱えて覚えよう〜!

ふうた君
ふうた君

コメント

タイトルとURLをコピーしました