鉛直投げ上げと投げ下ろしの小球が衝突する問題

力学
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taniten
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今回は投げ上げた小球と投げ下ろした小球が衝突する問題をやっていくよ!

今回もがんばるぞ!

ふうた君
ふうた君
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問題

 左図のように、小球Aと小球Bの位置を鉛直方向に揃え、小球Aを\(y = h\)に置き、小球Bを\(y = 0\)から鉛直上向きに速さ\(v_{0}\)で投げ上げる。

(1) 小球Bを投げ上げると同時に小球Aを自由落下させるとき、2つの小球が衝突する時刻と高さを求めよ。
(2) (1)のとき、小球Aも速さ\(v_{0}\)で投げ下ろすときに2つの小球が衝突する時刻と高さを求めよ。

taniten
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自由落下させたときと投げ下ろした時とで答えがどのように変わるのかに注目しよう。

解説

必要な知識

地上で物体を静かに放すと、物体は鉛直下向きに等加速度直線運動をする。その加速度は重力加速度とよばれ、その大きさは記号\(g\)で表される。
物体の重さや大きさによらず、重力加速度の値はおよそ\(g = 9.8 \rm m/s^{2}\)である。

鉛直上向きを正とし、最初に物体を放す点を原点とする。
このとき物体を初速\(0\)、すなわち静かに放して自由落下させる。

物体を自由落下させてから時刻\(t\)後の小球の速度\(v\)と変位\(y\)は、それぞれ
$$v = -gt, \quad y = -\frac{1}{2}gt^{2}$$
である。

鉛直上向きが正だから速度も変位も負の値になるんだね!

ふうた君
ふうた君

次に、速さ\(v_{0}\)で上向きに投げ上げた物体の運動を考える。

鉛直上向きを正とし、最初に物体を放す点を原点とする。
投げ上げた物体は、はじめのうちは上向きに上がっていくが、下向きに働く重力加速度によって徐々に減速する。
そして上昇しきった後は一瞬だけ空中で静止し、そこから自由落下を始める。

物体を投げ上げてから時刻\(t\)後の小球の速度\(v\)と高さ\(y\)は、それぞれ
$$v = v_{0}-gt, \quad y = v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2}$$
である。

もっと詳しく知りたい方は、以下の2つの記事を参考にしてくださいね。

解答

(1)
時刻\(t\)における小球Aの高さ\(y_{\rm A}\)と、小球Bの高さ\(y_{\rm B}\)はそれぞれ、
$$y_{\rm A} = h – \frac{1}{2} gt^{2}, \quad y_{\rm B} = v_{0} t – \frac{1}{2} gt^{2}$$
となる。
衝突する高さは、この2つの小球の高さが一致する時なので、
\begin{align}
& \qquad y_{\rm A} = y_{\rm B}\\
& \Longleftrightarrow h – \frac{1}{2} gt^{2} = v_{0} t – \frac{1}{2} gt^{2}\\
& \Longleftrightarrow t = \frac{h}{v_{0}}
\end{align}
となる、したがって、衝突する時刻は\(t = \frac{h}{v_{0}}\)である。
この値を小球Aの自由落下の式に当てはめれば、衝突する高さは、
\begin{align}
y_{\rm A} &= h – \frac{1}{2} gt^{2}\\
&= h – \frac{1}{2} g (\frac{h}{v_{0}})^2\\
&= h – \frac{gh^{2}}{2v_{0}^{2}}
\end{align}
となる。

(2)
時刻\(t\)における小球Aの高さ\(y_{\rm A}\)と、小球Bの高さ\(y_{\rm B}\)はそれぞれ、
$$y_{\rm A} = h – v_{0} t – \frac{1}{2} gt^{2},\qquad y_{\rm B} = v_{0} t – \frac{1}{2} gt^{2}$$
となる。
(1)と同様に、衝突する高さはこの2つの小球の高さが一致する時なので、
\begin{align}
& \qquad y_{\rm A} = y_{\rm B}\\
& \Longleftrightarrow h – v_{0} t – \frac{1}{2} gt^{2} = v_{0} t – \frac{1}{2} gt^{2}\\
& \Longleftrightarrow 2v_{0} t = h\\
& \Longleftrightarrow t = \frac{h}{2v_{0}}
\end{align}
となる、したがって、衝突する時刻は\(t = \frac{h}{2v_{0}}\)である。
この値を小球Aの自由落下の式に当てはめれば、衝突する高さは、
\begin{align}
y_{\rm A} &= h – v_{0} t – \frac{1}{2} gt^{2}\\
&= h – v_{0} (\frac{h}{2v_{0}}) – \frac{1}{2} g(\frac{h}{2v_{0}})^{2}\\
&= h – \frac{h}{2} – \frac{1}{2} g \frac{h^{2}}{4v_{0}^{2}}\\
&= \frac{h}{2} – \frac{gh^{2}}{8v_{0}^{2}}
\end{align}
となる。

taniten
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このような問題を考えるときは、鉛直上向きと鉛直下向きのうち、どちらを正にとるかを必ず意識するようにしましょう。
どちらを正にとるかで立式の際の符号が変わるので。

小球の高さを考えるときは、原点がどの位置にあるかを確認することも忘れないでおかないとね!

ふうた君
ふうた君

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