自由落下の式の符号は鉛直方向の正の向きで決まる!

力学
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taniten
taniten

今回は落体の運動の基礎の基礎、自由落下について解説するよ!

なんか物理っぽくなってわくわくしてきた!

ふうた君
ふうた君
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自由落下

まず自由落下とは何か解説していきます。

皆さんもすでに知っていると思いますが、地球上にある全ての物体には重力が働いています。

taniten
taniten

重力についてはまた別の記事で解説するね。

この重力というのは物体の質量と重力加速度という一定の加速度との積で表されます。

すなわち地球上の物体は、その重さ、大きさ、種類によらず一定の加速度で地面に向かって等加速度直線運動をするということになります。

重力加速度は今後\(g\)で表され、その値はおよそ\(g=9.8\,\mathrm{m/s^{2}}\)です。

実際は地球上の全ての場所で\(g=9.8\,\mathrm{m/s^{2}}\)というわけではありませんが、高校物理の範囲ではそこまで厳密には議論しませんので、ご安心ください。

月面での重力加速度は地球上の重力加速度の6分の1ってテレビで言ってた!

ふうた君
ふうた君

さて、地球上の物体には地面に向かって重力加速度が働いていることがわかりました。

したがって高いところから物体を落とせば、物体は地面に向かって等加速度直線運動をするということになりますね。

物体に重力が働いて物体が地面に落ちる方向のことを鉛直方向といいます。

それでは座標\(y\)を鉛直方向にとり、原点から物体を静かに離して落としてみましょう。
この物体がする運動が自由落下とよばれるものです。

このとき、「静かに離す」とは初速度が0ということです。
なお、初めは鉛直下向きを座標の正方向にとって考えてみます。

前の記事で等加速度直線運動の公式を導出しました。
まだ読んでいない方は、ぜひ先に読んでみてくださいね。

等加速度直線運動の公式を使えば、時刻\(t\)における物体の速度\(v\)は、
$$v = gt$$
となります。

また、時刻\(t\)における物体の変位(座標)\(y\)は、
$$y = \frac{1}{2} gt^{2}$$
となります。

さらに、これらの式から速度と変位のみの式も導出できるんでしたね。計算すると
$$v^{2} = 2gy$$
となります。

このように、自由落下の式は等加速度直線運動の公式に\(v_{0}=0\)を代入したものとなります。

なんだかあっけなく終わった気が・・・。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

これで終わり・・・とはいかないんだなこれが。

今度は鉛直上向きを座標の正方向にとってみましょう。
公式はどうなるでしょうか?

先ほどとの違いがわかるでしょうか?

そう、赤字で強調してありますが、今度は物体に働く重力加速度は負になります

taniten
taniten

加速度の向きと座標の正の向きは同じ方向で考えるんでしたね。

今回の場合は鉛直上向きが座標の正方向なのに対し、重力加速度の向きは鉛直下向きなので、重力加速度の符号は負になるのです。

なお、重力加速度\(g\)はただの9.8という数字なので、重力加速度を負にするためにはマイナスの符号を付けて\(-g\)とする必要があります。

重力加速度がただの数値+単位だっていうのがミソだね!

ふうた君
ふうた君

これを用いると、鉛直上向きが座標の正方向であるときの時刻\(t\)における物体の速度\(v\)と変位(座標)\(y\)は、
\begin{align}
&v=-gt\\
&y=-\frac{1}{2} gt^{2}
\end{align}

となります。

先ほどと同じように、速度と変位の関係式も導出できて、
$$v^{2} = -2gy$$
となります。
ここで、右辺にマイナスがついて変な感じがするかもしれませんが、\(y<0\)であるため右辺は正の値になります。速度が虚数になったりはしませんのでご安心を。

最後に、速さと移動距離についても確認しましょう。

速さと速度の違いについてはこちらの記事を見てみてくださいね。

速度は正負両方の値を取りますが、速さは正の値しかとらないんでしたね。

したがって速度\(v=-gt\)のとき、速さは\(v=gt\)となります。

また、変位も運動の方向によって正負の値を取りますが、移動距離は正の値で考えます。

したがって変位\(y = -\frac{1}{2}gt^{2}\)のとき、移動距離は\(y = \frac{1}{2}gt^{2}\)となります。

最後の話は試験でどっちを答えるか確認しないと間違えちゃいそう。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

そうだね。
「速度」と「速さ」、「変位」と「移動距離」はそれぞれ異なるので注意しようね!

コメント

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