【演習】摩擦がある面上における物体の運動

力学
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taniten
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今回から複数回にわたって、運動方程式を使った基本的な問題を取り扱うよ!

例題を解けば、運動方程式の使い方がより分かりそうだもんね!

ふうた君
ふうた君
taniten
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演習をこなすことで理解が深まっていくんだよ!

今回は「摩擦ある面上の物体」の運動をやっていこう!

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問題

摩擦のある面に置かれた質量\(m\)の物体にひもを付け、そのひもを力\(F\)で引っ張る。
はじめ物体は静止しており、静止摩擦係数を\(\mu_{0}\)とする。
(1)力のつり合いの式をたてよ。
(2)物体が動き始めるときの力\(F_{0}\)求めよ。
(3)物体が動いているときの物体の加速度\(a\)を求めよ。ただし、動摩擦係数を\(\mu\)とする。

taniten
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摩擦が関係する問題の中でもかなり基本的な問題だよ!

解説

必要な知識

この問題を解くには「摩擦力」「運動方程式」の知識が必要です。
それぞれ以下の記事で解説しているので、ぜひ参考にしてください!

解答

(1)物体に働く力はひもを引っ張る力\(F\)と、重力、垂直抗力、摩擦力の4種類です。図示すると以下のようになります。

鉛直方向に働く力は重力と垂直抗力であるから、垂直抗力を\(N\)とすると水平方向の力のつり合いの式は、
$$N=mg$$
となります。

また水平方向にも動いていないので、引っ張る力\(F\)と摩擦力がつり合っています。摩擦力を\(R_{0}\)とすればつり合いの式は、
$$F=R_{0}$$
となります。

(2)引っ張る力\(F\)を大きくしていくと、それに伴って摩擦力\(R_{0}\)も大きくなって\(R_{0}\)が最大静止摩擦力の大きさを超えると物体が動き出します。

したがって物体が動き始めるときの力\(F_{0}\)は(1)の結果を用いれば、
\begin{eqnarray*}
F_{0}&=&\mu_{0} N\\
&=&\mu_{0} mg
\end{eqnarray*}
となります。

(3)物体が動き始めると摩擦力は動摩擦力\(R\)となり、その値は\(R=\mu mg\)です。

したがって物体が動く方向を正の向きに取れば、物体の運動方程式は、
$$ma=F-\mu mg$$
となります。

上式を両辺\(m\)で割れば求める加速度\(a\)は、
$$a=\frac{F}{m}-\mu g$$
となります。

taniten
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この結果から力\(F\)をさらに大きくすれば、\(a\)もそれに比例して大きくなることが分かるね。

運動方程式の威力が分かった気がするよ!

ふうた君
ふうた君

コメント

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