【演習】摩擦のある斜面を滑り降りる物体の運動

力学
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taniten
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今回は「斜面を滑り降りる物体」 の運動をやっていくよ!

斜面の物体の運動方程式はどうなるんだろう?

ふうた君
ふうた君
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問題

固定された斜面台の斜面に、質量\(m\)の物体を置く。このとき、以下の問いに答えよ。
ただし斜面台の角度\(\theta\)は可変で面はザラザラしており、動摩擦係数を\(\mu\)とする。
(1)\(\theta=\theta_{0}\)のとき、物体が滑り出した。静止摩擦係数を\(\theta_{0}\)を使って表せ。
(2)\(\theta>\theta_{0}\)のとき、物体の加速度を求めよ。

taniten
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斜面を滑る物体の運動は入試でよく見かけるよ!

解説

必要な知識

この問題を解くには「摩擦力」「運動方程式」の知識が必要です。
それぞれ以下の記事で解説しているので、ぜひ参考にしてください!

解答

(1)物体に働く力を分解すると下図のようになります。

ここで\(N\)は垂直抗力、\(R\)は摩擦力です。

\(\theta=\theta_{0}\)のときの摩擦力を\(R_{0}\)とすると、この時に物体が滑り出したので\(R_{0}\)が最大静止摩擦力ということになりますね。

斜面に平行な方向の力のつり合いから、
$$R_{0}=mg\sin \theta_{0}$$
が成り立ちます。
静止摩擦係数を\(\mu_{0}\)とすると\(R_{0}=\mu_{0} N\)となるので、上式と組み合わせて、
$$\mu_{0} N=mg\sin \theta_{0}$$
という式が成り立ちます。

また斜面に垂直な方向の力のつり合いから、
$$N=mg\cos \theta_{0}$$
が成り立ちます。

したがって静止摩擦係数\(\mu_{0}\)は、
\begin{eqnarray*}
\mu_{0}&=&\frac{mg\sin \theta_{0}}{N}\\
&=&\frac{mg\sin \theta_{0}}{mg\cos \theta_{0}}\\
&=&\tan \theta_{0}
\end{eqnarray*}
となります。

(2)\(\theta>\theta_{0}\)なので、物体は斜面を滑っていることになります。したがって摩擦力\(R\)は動摩擦力です。

物体の加速度を\(a\)とすると、物体の運動方程式は、
\begin{eqnarray*}
ma&=&mg\sin \theta -R\\
&=&mg\sin \theta -\mu mg\cos \theta\\
\end{eqnarray*}
となります。したがって物体の加速度\(a\)は、
$$a=g\sin \theta -\mu g\cos \theta$$
となります。

taniten
taniten

今回は最も基本的な問題を扱ってみたよ!

摩擦力の式と運動方程式さえ立てられればけっこう簡単だね!

ふうた君
ふうた君

コメント

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