2つの小球の正面衝突は運動量保存則で解こう!

力学
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taniten
taniten

今回は2つの小球の正面衝突の問題を解説していくよ!

はい!よろしくおねがいします!

ふうた君
ふうた君
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問題

 一直線上を互いに逆向きに同じ速さ\(v\)で運動している2つの小球A,Bがある。小球A,Bの質量はそれぞれ\(m_{\rm A}\),\(m_{\rm B}\)で、衝突後に一体となって小球Aが進んでいた方向に速さ\(\frac{v}{2}\)で運動を続けた。
 このとき、\(m_{\rm A}\)と\(m_{\rm B}\)の比はいくらか?

taniten
taniten

運動量保存則を使う典型的な問題だね。
衝突後の物体の質量に気をつけて式を立てよう!

解説

必要な知識

質量\(m\)の物体の速度が\(\vec{v}\)であるとき、物体の運動量\(\vec{p}\)は、
$$\vec{p}=m\vec{v}$$
ある。

運動量は運動の大きさを示す指標で、ベクトルで表されるんだよね!

ふうた君
ふうた君
相互作用を及ぼし合っている\(n\)個の物体の運動量\(p_{i}(i=1,2,\cdots,n)\)の総和は、常に一定である。すなわち、
$$\sum_{i=1}^n p_{i} = \sum_{i=1}^n m_{i}\vec{v_{i}} = \verb|一定|$$ 
である。これを運動量保存則という

運動量保存則は、相互作用を及ぼし合っている任意の物体系について成り立ちます。したがって今回の問題でも、2つの小球の衝突前後(相互作用する前後)の運動量の総和は一定で、運動量が保存していることになります。

taniten
taniten

運動量保存則ってすごいよね

解答

衝突前に小球Aが運動していた方向を、速度の正方向にとる。
衝突前の運動量の総和は、
$$m_{\rm A}v – m_{\rm B}v$$
であり、衝突後の運動量は、
$$\frac{(m_{\rm A} + m_{\rm B})v}{2}$$
であるから運動量保存則より、\(m_{\rm A}\)と\(m_{\rm B}\)の比は、
\begin{align}
& \qquad m_{\rm A}v – m_{\rm B}v = \frac{(m_{\rm A} + m_{\rm B})v}{2}\\
& \Longleftrightarrow \frac{1}{2}m_{\rm A}v = \frac{3}{2}m_{\rm B}v\\
& \Longleftrightarrow m_{\rm A} = 3m_{\rm B}\\
& \Longrightarrow \frac{m_{\rm A}}{m_{\rm B}} = 3
\end{align}
となる。

この結果から、小球Aの方が小球Bよりも質量が3倍大きいことがわかります。
つまり、衝突前後の速度と片方の小球の質量がわかっていれば、もう片方の質量も求めることができるのです!

ちなみにこの問題を解く際に力学的エネルギー保存則は使用できません
小球同士の衝突によって、運動エネルギーの一部が熱や音などの他のエネルギーに変換されてしまうからです。

基本的に力学的エネルギー保存則は、重力や弾性力などの保存力以外の力が働いていると成り立ちません。
今回の問題であれば、衝突時に生じる力は保存力ではないため、力学的エネルギーは保存しません

逆に言うと、今回のように物体系に相互作用による力(内力)しか働いていないときは、運動量保存則を使えばいいと言うことになります。

taniten
taniten

だいたいの問題は運動量保存則かエネルギー保存則で解くから、片方がダメならもう片方で大抵の場合解けると思うんだけどね

そんな適当な考え方してるから東大に落ちたんじゃないですか??

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

ぴえん

コメント

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