ついに等加速度直線運動の公式を導出しちゃいます

力学
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taniten
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今回は等加速度直線運動の公式を、グラフを使って導出していくよ!

今回も頑張っていこう〜!

ふうた君
ふうた君
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そもそも等加速度直線運動って?

そもそも、等加速度直線運動という言葉が出てきたのは今回が初めてですね。

等加速度直線運動とは、その名の通り一直線上で一定の加速度を保った状態の運動です。

似た名前の等速直線運動は、運動の速度が一定だったので、物体の時刻\(t\)における位置や速度は簡単に求めることができました。

しかし等加速度直線運動は速度が一定ではないので、直感的に時刻\(t\)における物体の位置や速度を求めることは難しいです。
それではどのように求めればよいのでしょう?

実は、これまで解説してきた\(a-t\)グラフや\(v-t\)グラフで物体の運動を表し、それらのグラフの特徴を利用することで、簡単に等加速度直線運動の公式を導出することができます!

これまで勉強した\(a-t\)グラフや\(v-t\)グラフの知識をついに生かす時が来たんだね・・・!

ふうた君
ふうた君

等加速度直線運動の\(a-t\)グラフと\(v-t\)グラフ

上の図のように、時刻\(t = 0\)における速度(初速度)が\(v_{0}\)の物体が一定の加速度\(a\)で運動している。
このとき、時刻\(t\)における速度\(v\)および変位\(\Delta x\)はいくらになるでしょうか?

まず速度\(v\)から求めてみましょう。
これは、前回の記事で解説した\(a-t\)グラフを使えば簡単に分かるのです。

\(a-t\)グラフについての記事はこちらをご覧ください。

加速度は\(a\)で一定なので、図のように横軸に平行なグラフになります。

前回も赤文字で書いた通り、\(a-t\)グラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積は、その間の速度変化を表します

つまりこの時間に物体の速度は\(at\)だけ変化したことになるので、初速度が\(v_{0}\)だったことを考えると、時刻\(t\)における速度\(v\)は、
$$v = v_{0} + at$$
となります。

taniten
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いま加速度は正だから、速度が上がっていくことがわかるね。

次に、この速度を用いて変位を求めてみましょう。
こちらは\(v-t\)グラフを使用します。

\(v-t\)グラフについての記事はこちら!

初速度が\(v_{0}\)、時刻\(t = 0\)における速度が\(v_{0} + at\)なので、\(v-t\)グラフは上のような傾きの直線になります。

\(v-t\)グラフの解説記事でも書いた通り、\(v-t\)グラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積はその時間の物体の変位を表すのでした。

等加速度直線運動の場合、\(v-t\)グラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積は台形をしているので、この台形の面積を求めれば変位がわかることになります。したがって変位\(\Delta x\)は、
\begin{align}
\Delta x &= (v_{0}+v_{0}+at) \times t \times \frac{1}{2}\\
&= v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}
\end{align}
となります。

台形の面積を求める公式なんて久しぶり〜!

ふうた君
ふうた君

特に、時刻\(t = 0\)における物体の座標が\(x = 0\)であるとき、時刻\(t\)の物体の座標\(x\)は、
$$x = v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}$$
となります。

以上のように、等加速度直線運動に関する基本的な公式を導出することができました。
ちなみに、これらの式は時刻\(t\)の関数になっていますが、2つの式から\(t\)を消去することができて、
\begin{align}
x &= v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\\
&= (v_{0}+v_{0}+at) \times \frac{1}{2} t\\
&= \frac{1}{2} (v + v_{0}) \times \frac{v-v_{0}}{a}\\
&= \frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}\\
\end{align}
となります。したがって、
$$v^{2}-v_{0}^{2} = 2ax$$
のように、速度と変位のみの関係式を得ることができます。

taniten
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この式は覚えられなくても、自分で導出できるようにしておこう!

これらをまとめると、以下のようになります。

時刻\(t = 0\)において初速度\(v_{0}\)の物体が、一定の加速度\(a\)で運動しているとき、時刻\(t\)のときの速度\(v\)と変位\(\Delta x\)は、
$$v=v_{0}+at~~~~\Delta x = v_{0}t+\frac{1}{2} gt^{2}$$
となる。
またこれらより、速度と変位のみの関係式
$$v^{2}-v_{0}^{2} = 2ax$$
を得る。

taniten
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この公式はめちゃくちゃ使うことになるので、もう覚えてしまいましょう!

忘れても大丈夫なように、グラフから導出する方法も覚えておかなくちゃ!

ふうた君
ふうた君

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