頻出の初等関数マクローリン展開まとめ

物理数学
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taniten
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今回は典型的な関数のマクローリン展開を紹介していくよ!

頻出の公式を確認していこう〜!

ふうた君
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マクローリン展開の式

式の導出はこちらの記事を参考にしていただくとして、マクローリン展開の式は以下のようになります。

マクローリン展開
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+f^{\prime \prime}(0)\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+f^{(n)}(0)\frac{x^{n}}{n!}$$
taniten
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この式を使って、頻出の関数のマクローリン展開をみてみよう!

様々な式のマクローリン展開

\(e^{x}\)

$$e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+\cdots$$

taniten
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マクローリン展開の中でも簡単に暗記できてしまうのがこの指数関数\(e^{x}\)だね。

微分しても関数の形が変わらないから簡単になるんだね!

ふうた君
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\(\sin x,\cos x\)

$$\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots+(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\cdots$$

$$\cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots+(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\cdots$$

三角関数は少し形が複雑だね・・・。

ふうた君
ふうた君
taniten
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三角関数は微分するたびに符号や関数が替わるから、少し計算が面倒なんだよ。
ちなみに\(\tan x\)は一般解がちょっと難しいので、ここでは紹介しません。

\(\frac{1}{1+x}\)

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots+(-x)^{n}+\cdots$$

taniten
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分母の\(1+x\)のおかげで、マクローリン展開の分母である\(n!\)が全て約分されて消えてくれるんだ。

\(\log (1+x)\)

$$\log (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+\cdots$$

今度は微分によって\((n-1)!\)が出てくるから、分母に1つずつ数が残るんだね!

ふうた君
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\((1+x)^{a}\)

$$(1+x)^{a}=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{a(a-1)(a-2)\cdots(a-n+1)}{n!}x^{n}+\cdots$$

taniten
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この式は\(a\)が\(0\)になれば、そこで終了するね。

微分するためには\(a\)は任意の実数じゃないといけないね。

ふうた君
ふうた君

まとめ

taniten
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頻出のマクローリン展開の式を紹介したけど、今回紹介した式の証明や、もっと複雑になる式の証明も、ちょこちょこ記事で解説していくよ!

自分の知りたい式の証明を見つけて見てみてね!

ふうた君
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