ロルの定理で平均値の定理を証明しよう

物理数学
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taniten
taniten

今回は平均値の定理を解説していくよ!

高校の数学Ⅲでもやった気がするけど、それとは違うの?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

基本的には同じだよ。
別の記事でやるテイラー展開の導出に必要だから、ここでしっかり再確認しておこう。

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ロルの定理

平均値の定理を証明する前に、ロルの定理という定理の証明を先にしておきましょう。

ロルの定理
\(f(a)=f(b)\)を満たす関数\(f(x)\)がある\((a<b)\)。このとき、\(f'(c)=0\)をみたす\(c\)が、区間\((a,b)\)内に少なくとも1つ存在する。
taniten
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\(f(a)=f(b)\)となるグラフをイメージすれば、当たり前の定理だよね!

【証明】
\(\varphi(x)=f(x)-f(a)\)とおく。この関数\(\varphi(x)\)の区間\([a,b]\)内における最大値を\(M\)、最小値を\(m\)とする。
(ⅰ)\(M=m\)のとき
\(f(a)=f(b)\)より常に\(\varphi(x)=0\)であり、\(\varphi'(x)=0\)となる。
したがって、\((a,b)\)の任意の値\(c\)で\(\varphi'(c)=0\)となる。
(ⅱ)\(M>0\)のとき
このとき\((a,b)\)内に\(\varphi(c)=M\)となる\(c\)が存在し、\(M\)は最大値である。この区間で関数が連続のとき、この点で\(\varphi'(c)=0\)である。
(ⅲ)\(m<0\)のとき
このとき\((a,b)\)内に\(\varphi(c)=m\)となる\(c\)が存在し、\(m\)は最小値である。この区間で関数が連続のとき、この点で\(\varphi'(c)=0\)である。
\(\varphi'(x)=f'(x)\)であるから、(ⅰ)~(ⅲ)より\((a,b)\)内に\(f'(c)=0\)をみたす\(c\)が存在する。

区間\((a,b)\)で関数\(f(x)\)が連続であることが重要だね!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

ちなみにロルの定理の綴りは”Rolle”で、サムネのロールケーキの”Roll”とは違うのです。

平均値の定理

平均値の定理
区間\([a,b]\)で定義される関数\(f(x)\)があるとき、
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$
を満たすような\(c\)が\((a,b)\)内に少なくとも1つ存在する。

ではロルの定理を用いて、この平均値の定理を証明しましょう。

【証明】
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=A$$
とおくと、式変形して\(f(b)-f(a)-A(b-a)=0\)が成り立つ。ここで、
$$F(x)=f(b)-f(x)-A(b-x)$$
なる関数\(F(x)\)を考えると、\(F(a)=F(b)=0\)となる。
したがってロルの定理より、\((a,b)\)内に\(F'(c)=0\)をみたす\(c\)が存在する。
ここで\(F'(x)=-f'(x)+A\)であるから、
$$f'(c)=A=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
が成り立つ。

ロルの定理を使うとこんなに証明が簡単になるんだね!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

これらの定理を駆使して次回、テイラーの定理を証明することになるよ!

コメント

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