物理の問題のモンキーハンティングはなぜ必ず命中する?【初速度の条件】

力学
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taniten
taniten

今回はモンキーハンティングの問題を解いていくよ!

モンキーハンティング?お猿さんに関する問題なんですか?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

呼び名にモンキーって入ってるけど、ただの放物運動の問題だからお猿さんはでてきません。あしからず。

なんだ〜

ふうた君
ふうた君
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問題

時刻\(t=0\)に座標(\(l,h\))から小球Bを落下させ、それと同時に原点Oから点Pの方向に小球Aを速さ\(v_{0}\)で発射する。このときの\(x\)軸と線分OPがなす角を\(\theta\)とする。

(1) 小球Aの\(x\)座標が\(l\)になるときの時刻\(t\)を求めよ。
(2) (1)の時刻\(t\)で小球Aと小球Bが衝突する時、\(\tan \theta\)を求めよ。
(3) 小球Aと小球Bが衝突するために初速度\(v_{0}\)が満たすべき条件を求めよ。

この問題のどこにモンキー要素があるのやら・・・。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

それについては最後まで問題を解けば分かるよ!
早速解いてみよう!

解法

必要な知識

今回は自由落下放物運動の知識が必要になります。
これら2つは記事で詳しく解説しているので、まだ見ていないと言う方はぜひ先に見てくださいね。

自由落下についての記事はこちら

放物運動についての記事はこちら

解答

(1)

小球Aは\(x\)軸方向に速さ\(v_{0}\ cos \theta\)で等速直線運動するから、
\begin{align}
\qquad l = v_{0}t\cos \theta\\
\Longleftrightarrow t = \frac{l}{v_{0}\cos \theta}
\end{align}
となる。
したがって、小球Aが\(x=l\)に到達する時刻\(t\)は、
$$t = \frac{l}{v_{0}\cos \theta}$$
となる。


放物運動する物体は、水平方向には等速直線運動をするんだったね!

ふうた君
ふうた君

(2)

時刻\(t\)で小球Aは\(x=l\)の直線上にあり、このときの小球Aの\(y\)座標と小球Bの\(y\)座標が一致すれば衝突する
小球Aの\(y\)座標は、
$$v_{0}t\sin \theta – \frac{1}{2} gt^{2}$$
小球Bの\(y\)座標は、
$$h – \frac{1}{2} gt^{2}$$
であるから、
\begin{align}
&\qquad v_{0}t\sin \theta – \frac{1}{2} gt^{2} = h – \frac{1}{2} gt^{2}\\
&\Longleftrightarrow v_{0}t\sin \theta \cdot \frac{l}{v_{0}\cos \theta} = h\\
&\Longleftrightarrow \tan \theta = \frac{h}{l}
\end{align}
となる。
したがって、求める\(\tan \theta\)の値は、
$$\tan \theta = \frac{h}{l}$$
である。

taniten
taniten

この答えから、小球Aを発射する向きとタイミングが小球Bに合っていれば、\(v_{0}\)に関係なく必ず衝突することがわかるね。

答えに\(v_{0}\)が含まれていないから、どんな速度で打ち出しても必ずぶつかるってこと?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

いや、実は\(v_{0}\)には条件があるんだ。次の問題で見てみよう。

(3)

小球Aと小球Bが衝突するには、小球Bが地面に落下する前に小球Aが\(x=l\)の位置にいなければならない
したがって(1)より、
\begin{align}
&\qquad h – \frac{1}{2} gt^{2} = h – \frac{1}{2} g \left( \frac{l}{v_{0}\cos \theta}\right)^{2} = h – \frac{gl^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2} \theta} > 0\\
&\Longleftrightarrow h\geq \frac{gl^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2} \theta}\\
&\Longleftrightarrow v_{0}^{2}\geq \frac{gl^{2}}{2h\cos^{2} \theta}
\end{align}
ここで\(\displaystyle \frac{1}{\cos^{2} \theta} = 1 + \tan^{2} \theta = 1 + \frac{h^{2}}{l^{2}}\)より、
$$v_{0}^{2}\geq \frac{gl^{2}}{2h\cos^{2} \theta} = \frac{gl^{2}}{2h} \left(1 + \frac{h^{2}}{l^{2}}\right) = \frac{g(l^{2}+h^{2})}{2h}$$
となる。したがって2つの小球が衝突するための\(v_{0}\)の条件は、
$$v_{0}\geq \sqrt{\frac{g(l^{2}+h^{2})}{2h}}$$
である。

taniten
taniten

この値以上の速さで小球Aを発射しないと2つの小球は衝突しないんだよ。

なるほど・・・。
ところでこの問題がモンキーハンティングって呼ばれている理由は結局なんだったんです?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

小球Bのところに猿がいて、小球Aのところから猟師が猟銃を構える。
猿が落下したのと同時に撃てば、必ず猿を狩ることができる。
これに例えてモンキーハンティングって名前がついたんだ。

猿さん・・・南無三・・・。

ふうた君
ふうた君

コメント

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