【演習】物体の上に物体が乗っている系の運動

力学
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taniten
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今回は「物体の上に物体が乗っている系」の運動をやっていくよ!

物体の上に物体?

なんか考えることが多そうだね・・・。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

今回の問題は少し難しめだよ!

1つ1つ丁寧に解説を追っていこう!

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問題

図のように,右端にひもがつけられた質量\(M\)の物体Aがつるつるな面上に置かれており,その上に質量\(m\)の物体Bが置かれている。
力と加速度の正の向きを右向きとするとき,以下の問いに答えよ。

(1)物体Aと物体Bの間に摩擦が働かないとする。このときひもを引っ張り,物体Aに力\(F_{1}\)を加えたときの物体Aの加速度\(a_{1}\)を求めよ。
(2)物体Aと物体Bの間に摩擦が働くとする。このときひもを引っ張って物体Aに力\(F_{2}\)を加えたところ,物体Bは物体Aの上で滑ることなく一緒に運動した。このときの物体Aの加速度\(a_{2}\)を求めよ。
(3)(2)のとき,ひもを引っ張る力を\(F_{3}\)まで上げたところ,物体Bは物体Aの上を滑り始めた。このとき,物体Aと物体Bの間の静止摩擦係数\(\mu_{0}\)を求めよ。

taniten
taniten

2つの物体の運動を考えるときは,作用する力を正しく図示することが大事だよ!

解説

必要な知識

この問題を解くには「摩擦力」「運動方程式」の知識が必要です。
それぞれ以下の記事で解説しているので、ぜひ参考にしてください!

解答

(1)物体に働く力を図示すると下図のようになります(重力と垂直抗力は除く)。

物体Aと物体Bの間には摩擦が働かないので,物体Aをひもで引っ張ると物体Aだけに力が働き,物体Aだけが運動します

したがって物体Aの運動方程式は,
$$Ma_{1}=F_{1}$$
となります。

これより,求める加速度\(a_{1}\)は,
$$a_{1}=\frac{F_{1}}{M}$$
であることがわかります。

このとき物体Bはどうなってるの?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

物体Bには力が働かないから,最初の位置でずっと静止したままだよ。運動しているのは物体Aだけだから,運動方程式の質量は\((M+m)\)にはならないことに注意しよう。

(2)物体に働く力を図示すると下図のようになります(重力と垂直抗力は除く)。

物体Aと物体Bには同じように摩擦力\(R\)が働き,それらは同じ大きさで互いに逆向きに作用します(作用反作用の法則)。

摩擦力の向きで悩むかもしれませんが,物体Bは物体Aと同じ向きに運動するので,物体Bに働く摩擦力は右向きであると考えることができます。

taniten
taniten

物体は力が働く方向に運動するのが基本だからね!

したがってそれぞれの物体の運動方程式は,
\begin{eqnarray*}
Ma_{2}&=&F_{2}-R\\
ma_{2}&=&R
\end{eqnarray*}
となります。

これらを連立すれば,求める加速度\(a_{2}\)は,
$$a_{2}=\frac{F_{2}}{M+m}$$
となります。

それぞれの物体について運動方程式をたてればいいんだね!

ふうた君
ふうた君

(3)物体に働く力を図示すると下図のようになります(物体Aにはたらく重力と垂直抗力は除く)。

物体Bが滑り始めたということは,このときの摩擦力\(R_{0}\)は最大静止摩擦力ということになります。つまり,
$$R_{0}=\mu_{0}N=\mu_{0}mg$$
となります。

重力と垂直抗力の間には\(N=mg\)の関係が成り立つからだね。

ふうた君
ふうた君

このときの加速度は(2)の結果より\(\displaystyle \frac{F_{3}}{M+m}\)であるので,物体Bの運動方程式は,
$$m\frac{F_{3}}{M+m}=\mu_{0}mg$$
となります。

したがって求める静止摩擦係数\(\mu_{0}\)は,
$$\mu_{0}=\frac{F_{3}}{(M+m)g}$$
となります。

taniten
taniten

運動方程式をたてる前に,物体に働く力の向きと種類をしっかり確認するようにしよう!

運動の向きを考えれば,どの方向に力が働くかおおよその見当はつけられそうだね!

ふうた君
ふうた君

コメント

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