斜方投射の典型的な問題を解いてみよう

力学
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taniten
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今回は斜方投射の問題を解いていくよ!

この間テストで間違えちゃったところだ。しっかり復習しなきゃ!

ふうた君
ふうた君
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問題

 地表から速さ\(v_{0}\)で、水平方向から仰角\(\theta\)の方向に小球を投げる。このとき次の問いに答えよ。
(1) 投げた小球が再び地表に戻ってくるのにかかる時間\(t\)を求めよ。
(2) 初速\(v_{0}\)はそのままで、最も遠くまで小球が飛ぶためには仰角\(\theta\)をどのような値にすれば良いか?ただし、\(\displaystyle 0 < \theta \leq \frac{\pi}{2}\)とする。
(3) また、最高到達高度を最も大きくする仰角\(\theta\)を求めよ。

taniten
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ザ・典型問題ですな

解説

必要な知識

今回の問題のように、物体が基準面から角度\(\theta\)をつけて運動するとき、その速度ベクトルを分解するところから始めよう。
速度ベクトルを分解するときは、物体に働いている力の方向に分解しましょう

今回の場合は小球には重力しか働かないので、重力が働く鉛直方向と、それに垂直な方向に分解できます。
その後にそれぞれの方向だけに注目して、どのような運動をしているかを確認すればOKです。

垂直方向には力が働いていないので、等速直線運動をします。

鉛直方向には下向きに重力が働いているので、鉛直投げ上げ運動を行います。

このような放物運動の式の立て方については下の問題を参考にしていただければと思います。

解答

(1) 小球が再び落下するのにかかる時間は、鉛直方向の投げ上げ運動に着目するとわかる。速度を鉛直方向と垂直方向に分解して、\(y = 0\)になるときの時刻\(t\)を求める。
時刻\(t\)における鉛直方向の高さ\(y\)は、
$$y = v_{0} {\rm sin} \theta \cdot t – \frac{1}{2} gt^{2}$$
である。これに\(y = 0\)を代入して\(t\)で両辺を割ればよい。このとき、再び落下するときの時刻は\(t \neq 0\)なので、\(t\)で割っても問題ない。
\begin{align}
& \qquad 0 = v_{0} {\rm sin} \theta \cdot t – \frac{1}{2} gt^{2}\\
& \Longleftrightarrow \frac{1}{2} gt^{2} = v_{0} {\rm sin} \theta \cdot t\\
& \Longleftrightarrow t = \frac{2v_{0} \rm sin \theta}{g}
\end{align}
となる。

(2) 最も遠くまで飛ぶということは、水平方向に進んだ距離\(x\)が最も長くなるということである。したがって、(1)で求めた落下するまでにかかる時間と水平方向の速さを掛け、その値が最も最大になる\(\theta\)がいくらかを調べれば良い。
\begin{align}
x &= v_{0} {\rm cos} \theta \cdot \frac{2v_{0} {\rm sin} \theta}{g}\\
&= \frac{2v_{0}^{2} \rm sin \theta \rm cos \theta}{g}\\
&= \frac{v_{0}^{2} \rm sin 2\theta}{g}
\end{align}
これは\(\theta\)の関数だから、\(\theta\)が最大になれば最も遠くまで飛ぶことになる。
問題の条件より、
\begin{align}
& \qquad 0 < \theta \leq \frac{\pi}{2}\\
& \Longleftrightarrow 0 < 2\theta \leq \pi\\
& \Longleftrightarrow 0 \leq \rm sin 2\theta \leq 1
\end{align}
となる。したがって、\(\displaystyle 2\theta = \frac{\pi}{2}\)のとき、つまり\(\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}\)のときに最も遠くまで飛ぶ。

(3) 最も高くまで飛ぶということは、鉛直方向の高さ\(y\)が最も大きくなるということである。(1)で求めた時間\(t\)の半分の時間で小球は最高点に到達するので、最高点の高さは
\begin{align}
y &= v_{0} {\rm sin} \theta \cdot \frac{v_{0} {\rm sin} \theta}{g} – \frac{1}{2} g\left(\frac{v_{0} {\rm sin} \theta}{g}\right)^{2}\\
&= \frac{v_{0}^{2} {\rm sin}^{2} \theta}{2g}
\end{align}
となる。(2)と同様にこれも\(\theta\)の関数だから、\(\theta\)が最大になれば最も高くまで飛ぶことになる。
問題の条件より、
\begin{align}
& \qquad 0 < \theta \leq \frac{\pi}{2}\\
& \Longleftrightarrow 0 < {\rm sin} \theta \leq 1\\
& \Longleftrightarrow 0 < {\rm sin}^{2} \theta \leq 1\\
\end{align}
となる。
したがって、\(\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}\)の時に最大になる。

taniten
taniten

斜方投射の問題を解くコツは、物体に働く力を見極めて、その方向に力を分解することです。
そして分解した方向について運動を考えていけば大丈夫です。

ボールを一番遠くまで飛ばすには45度、最も高くまで飛ばすには90度でボールを飛ばせば良いことがわかるね!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

体力テストのハンドボール投げで好スコアを狙いたいなら、45度の方向に飛ばすことを意識してみるといいよ!
すごく飛ぶよ!

たしかこの人ハンドボール投げ10mくらいしか飛ばしてなかったような・・・

ふうた君
ふうた君

コメント

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