放物運動は水平方向と鉛直方向に運動を分けて考えるべし!

力学
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taniten
taniten

今回は物体の放物運動について解説していくよ。

これまでの自由落下や鉛直投げ上げと違って、放物運動は2次元的な運動をしていますよね?
どうやって式を立てればいいんでしょう?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

放物運動のような平面的な運動を扱うときには、前に解説したベクトルの考え方を使えば大丈夫だよ。
早速見ていくことにしよう!

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放物運動とはどのような運動?

放物運動とは物体を任意の方向に投げた時に、物体が行う運動のことです。

ボールを投げる人。放たれたボールは放物線を描く。

この運動は一直線上での運動ではないので、平面上での運動として考える必要があります。
平面上の運動はベクトルを使えば表すことができるんでしたね。

物理で使うベクトルについてはこちらの記事を参考にしてください。

ボールに与えられた初速度はベクトルなので、ベクトルの分解をすることができます。

ベクトルの分解をするのはわかるんですけど、どの方向に分解すればいいんですか?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

ベクトルを分解するときは、基本的に力が働いている方向に分解するんだよ。
今回の場合はボールには重力が働いているから、鉛直方向に分解できるね。

放物運動する物体の速度は鉛直方向と水平方向に分解して考えましょう。

ボールが投げ出された方向と地面がなす角度を\(\theta\)、ボールの初速度を\(v_{0}\)とすると初速度は以下のように分解することができます。

ボールの初速度は鉛直方向と水平方向に分解できる。

重力が働くから鉛直方向に分解できるのはわかりましたが、なぜ水平方向にも分解できるのです?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

水平方向に分解できる理由は、「慣性の法則」という法則があるからなんだ。
一度ボールに水平方向の力が加わると、ボールは常に水平方向に動き続ける。だから水平方向に分解できるんだよ。

放物運動の式を導出してみよう!

taniten
taniten

ボールの速度を水平方向と鉛直方向に分解できたところで、それぞれの方向のボールの運動をみてみよう!

水平方向の運動

先ほども書いたように、水平方向には慣性の法則がはたらくため、ボールに与えられた水平方向の初速度で常に運動し続けます。

つまり、ボールは水平方向に速度\(v_{0}\cos \theta\)で等速直線運動をするということになります。

等速直線運動については以下の記事も参考にしてくださいね。

ということで時刻\(t\)における水平方向の速度\(v_{x}\)と変位\(x\)は、
\begin{align}
v_{x}=v_{0}\cos \theta\\
x=v_{0}t\cos \theta
\end{align}

となります。

等速直線運動は速度が一定だから、式が簡単でわかりやすいね!

ふうた君
ふうた君

鉛直方向の速度

今度は鉛直方向の運動を考えます。

こちらは他の記事で解説している、鉛直投げ上げ運動の式そのままとなります。
鉛直投げ上げの運動の式については以下の記事を参考にしてみてください。

鉛直投げ上げの式さえ分かっていれば、初速度のところを\(v_{0}\sin \theta\)に変更するだけでいいので簡単です。

ということで時刻\(t\)における鉛直方向の速度\(v_{y}\)と変位\(y\)は、
\begin{align}
&v_{y}=v_{0}\sin \theta -gt\\
&y=v_{0}t\sin \theta -\frac{1}{2} gt^{2}
\end{align}

となります。

taniten
taniten

少し複雑に見えますが、1つ1つ丁寧に追えばそこまで難しくないはずです。

放物運動の最高到達点

水平方向と鉛直方向のボールの運動の式が導けたところで、このボールの最高到達点を鉛直方向の式を変形することで調べてみましょう。

\begin{align}
y&=-\frac{1}{2} gt^{2} + (v_{0}\sin \theta )t\\
&=-\frac{1}{2} g(t^{2}-\frac{2v_{0}\sin \theta}{g}t)\\
&=-\frac{1}{2} g(t-\frac{v_{0}\sin \theta}{g})^{2} + \frac{v_{0}^{2}\sin^{2} \theta}{2g}
\end{align}

となります。
この式で表される放物線は以下のようになりますね。

鉛直方向の\(y-t\)グラフ。
taniten
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これは\(y-t\)グラフなので、実際のボールの放物線の軌道を表しているわけではないことに注意しよう。

このグラフから、最高点が\(y=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2} \theta}{2g}\)だということがわかるね!

ふうた君
ふうた君

実際の軌道の式は、水平方向の式と鉛直方向の式を使って\(t\)を消去して導くことができます。

\begin{align}
y&=-\frac{1}{2} g(\frac{x}{v_{0}\cos \theta})^{2} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} x\\
&=-\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2} \theta} (x^{2}-\frac{2v_{0}^{2}\sin \theta \cos \theta}{g}x)\\
&=-\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2} \theta} (x-\frac{v_{0}^{2}\sin \theta \cos \theta}{g})^{2} + \frac{v_{0}^{2}\sin^{2} \theta}{2g}
\end{align}

この式でも最高到達点が\(y=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2} \theta}{2g}\)と分かりますね。

ふうた君
ふうた君

この式より、実際のボールの軌道は以下のようになります。

実際のボールの軌道。
taniten
taniten

式変形が少々複雑ですが、自分の力で導出できるようにしておきましょうね!

それじゃあ最後に復習するね!

ふうた君
ふうた君
放物運動における時刻\(t\)における速度と変位は、
水平方向が
$$v_{x} = v_{0}\cos \theta~~~~~x = v_{0}t\cos \theta$$
鉛直方向が
$$v_{y}=v_{0}\sin \theta -gt~~~~~y=v_{0}t\sin \theta -\frac{1}{2} gt^{2}$$
となる。
また最高到達点は\(\displaystyle y=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2} \theta}{2g}\)となる。
taniten
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放物運動に関連した斜方投射の問題もありますのでぜひご覧くださいね!

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