偏微分係数と偏導関数!偏微分の定義を解説!

物理数学
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taniten
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今回は偏微分について解説していきます!

普通の微分とは違うのかな?

ふうた君
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偏微分とは?

多変数関数

はじめに多変数関数について解説します。

みなさんが普段使う関数は、\(f(x)\)のように変数を1つしか持たない1変数関数であることが多いと思います。

しかし大学の物理学では変数を複数持つ関数が多く出てきます。

例えば変数が2つある2変数関数\(f(x_{1},x_{2})\)や、3つある3変数関数\(f(x_{1},x_{2},x_{3})\)など様々です。

これを一般化して、変数が\(n\)個ある関数\(f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\)\(n\)変数関数といいます。

taniten
taniten

変数が2個以上の関数を多変数関数というよ!

偏微分係数

2変数関数\(f=f(x,y)\)を考えてみましょう。

この式は、\(x,y\)の値を与えれば関数\(f\)の値が得られるということを意味しています。

ここで関数\(f\)が点\((a,b)\)とその付近で定義されているものとしましょう。

\(y=b\)で固定すれば\(f=f(x,b)\)となり、これは1変数関数とみなすことができます

したがって点\((a,b)\)において\(x\)方向への微分を行うことができ、
$$f_{x}(a,b)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$$
が定義できます。

これを点\((a,b)\)における関数\(f\)の\(x\)方向の偏微分係数といいます。
\(x\)方向の傾きというイメージですね。

同じように\(x=a\)で固定し、点\((a,b)\)における\(y\)方向の偏微分係数
$$f_{y}(a,b)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}$$
も定義できます。
こちらは\(y\)方向の傾きというイメージですね。

2変数関数でも傾きを考えることができるんだね!

ふうた君
ふうた君

偏導関数と偏微分

関数\(f=f(x,y)\)に対して、定義された領域の全ての点で以上のような計算を行えるとき、関数\(f\)は\(x,y\)に関して偏微分可能であるといい、\(x\)方向、\(y\)方向についてそれぞれ
$$f_{x}(x,y)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$
$$f_{y}(x,y)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$$
なる計算を行えます。

この\(f_{x}(x,y),f_{y}(x,y)\)を偏導関数といい、この操作を偏微分と言います。

taniten
taniten

偏導関数に具体的な点の座標\((a,b)\)を入れたものが偏微分係数だよ!

偏微分には様々な表し方があり、例えば\(x\)方向の偏微分であれば、
$$f_{x}(x,y),\, f_{x},\, \frac{\partial f}{\partial x}$$
のような表し方があります。

ここで最後の\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\)は偏微分を表す表記で、\(\partial\)ラウンドもしくはデルと読みます。

まとめ

変数が2個以上の関数を多変数関数という。

2変数関数\(f=f(x,y)\)が定義された領域で偏微分可能であるとき、
$$f_{x}(x,y)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$
$$f_{y}(x,y)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$$
で定義される量を偏導関数といい、具体的な座標\((a,b)\)を代入したものをその点での偏微分係数という。

偏導関数には、
$$f_{x}(x,y),\, f_{x},\, \frac{\partial f}{\partial x}$$
のような表し方がある。

taniten
taniten

次回、具体的な式の偏微分を計算してみるよ!

計算の前に定義を再確認しておこう!

ふうた君
ふうた君

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