偏微分の例題を解いてみよう!【3Dグラフあり】

物理数学
スポンサーリンク
taniten
taniten

今回は偏微分の具体的な例題を計算してみよう!

計算を通して理解を深めていこう!

ふうた君
ふうた君
スポンサーリンク

偏微分の例題

taniten
taniten

そもそも偏微分について知らない方は、以下の記事を参考にしてね!

次の多変数関数を変数\(x,y\)について偏微分せよ。
(1) \(f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy\)
(2) \(f(x,y)=\log (3x+5y)\)
(3) \(f(x,y)=x^{y}\)
(4) \(f(x,y)=\tan^{-1} \frac{y}{x}\)
taniten
taniten

解き方は、「微分する変数以外を定数とみなして微分する」ことだよ!

\(f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy\)

関数\(f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy\)は以下のようなグラフになる。

まず\(x\)について偏微分すると、
$$\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3y$$
となる。
次に\(y\)について微分すると、
$$\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-3x$$
となる。

\(x\)と\(y\)について対称だから、偏導関数の式の形が同じだね!

ふうた君
ふうた君

\(f(x,y)=\log (3x+5y)\)

関数\(f(x,y)=\log (3x+5y)\)は以下のようなグラフになる。

まず\(x\)について微分すると、
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{3}{3x+5y}$$
となる。
次に\(y\)について微分すると、
$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{5}{3x+5y}$$
となる。

\(f(x,y)=x^{y}\)

関数\(f(x,y)=x^{y}\)は以下のようなグラフになる。

まず\(x\)について微分すると、
$$\frac{\partial f}{\partial x}=yx^{y-1}$$
となる。
次に\(y\)について微分すると、
$$\frac{\partial f}{\partial y}=x^{y}\log x$$
となる。

指数の微分の仕方忘れてた・・・。
数学の教科書見直さなきゃ。

ふうた君
ふうた君

\(f(x,y)=\tan^{-1} \frac{y}{x}\)

関数\(f(x,y)=\tan^{-1} \frac{y}{x}\)は以下のようなグラフになる。

taniten
taniten

おもしろい形のグラフですよね笑
ちなみに\(x=0\)で絶壁がそびえ立っているのは、\(tan^{-1}\)の中身が発散するからだよ!

そもそも「\(\tan ^{-1} x\)の微分が分からないよ〜」って方がいると思うのでここで示しておきます。

\(y=\tan^{-1} x\)の微分は、
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^{2}+1}$$
となります。

まず\(x\)について微分すると、
\begin{eqnarray}
\frac{\partial f}{\partial x}&=&\frac{1}{\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+1}\cdot \left(-\frac{y}{x^{2}}\right)\\
&=&\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot \left(-\frac{y}{x^{2}}\right)\\
&=&-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}
\end{eqnarray}
となる。
次に\(y\)について微分すると、
\begin{eqnarray}
\frac{\partial f}{\partial y}&=&\frac{1}{\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+1}\cdot \left(\frac{1}{x}\right)\\
&=&\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot \left(\frac{1}{x}\right)\\
&=&\frac{x}{x^{2}+y^{2}}
\end{eqnarray}
となる。

taniten
taniten

「よくわからん」って人は、合成関数の微分法を復習してくださいね。

ちなみに今回載せたような3Dのグラフの描き方は、以下の記事で書いてるから、描いてみたい人は是非見てみてね!

ふうた君
ふうた君

コメント

タイトルとURLをコピーしました