【問題で解説】熱量の保存則とは?熱平衡時の温度を求める!

熱力学
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taniten
taniten

今回は熱量の保存則を解説していくよ!

保存則って式を立てるの難しそうだなあ・・・。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

そんなことないよ。
例題を交えながら解説するからね!

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まずは熱平衡について

熱量の保存則をやる前に、熱平衡について解説します。

下の図のように、温かい物体Aと冷たい物体Bを接触させてしばらくすると、全体の温度が一定になります。

温かい物体から冷たい物体に熱が移動するのですね。

この熱の移動によって、全体の温度が一定になった状態を熱平衡と言います。

taniten
taniten

熱の移動をイメージできるようになろう!

熱量の保存則

先ほどの図に熱の移動を書き加えてみましょう。

物質Aは初めは温かい状態でしたが、物質Bと接触することで温度が下がりました。

逆に物質Bは自分より温かい物質Aと接触することで、温度が上がりました。

そして全体としての温度が一定になり、熱平衡状態になったわけです。

つまり、高温の物体Aが失った熱量と低温の物質Bが得た熱量は互いに等しいということになります。

言い換えると、物体全体が持つ熱量は保存しており、これが熱量の保存則なのです。

いまいちイメージできないな・・・。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

それじゃあここで例題を解いてみようか。

例題と解説

問題

質量\(m_{A}\)、比熱\(c_{A}\)、温度\(T_{A}\)の物質Aと、質量\(m_{B}\)、比熱\(c_{B}\)、温度\(T_{B}\)の物質Bがある。
この2つの物質を接触させてしばらくすると、全体の温度が\(T\)で一定になった。

熱平衡時の温度\(t\)を求めよ。
ただし、\(T_{A}>T_{B}\)とする。

「物体Aが物体Bに与えた熱量」「物体Bが物体Aからもらった熱量」は等しくなるんだよね!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

その通り!
ちなみに熱量についての記事もあるから参考にしてみてね!

解答と解説

\(T_{A}>T_{B}\)なので、物体Aの方が物体Bよりも温度が高いことがわかる。

物体Aが物体Bに与えた熱量は、
$$m_{A}c_{A}(T_{A}-T)$$
となります。

初めに温度\(T_{A}\)だった物質Aは、物質Bと接触することで温度\(T\)に下がったから\(T_{A}>T\)なんだね。

ふうた君
ふうた君

また、物体Bが物体Aからもらった熱量は、
$$m_{B}c_{B}(T-T_{B})$$
となります。

taniten
taniten

熱量は正の値になってるどうか確認してね!

熱量の保存則より、これらの熱量が等しいので、熱平衡時の温度\(T\)は、
\begin{align}
\qquad m_{A}c_{A}(T_{A}-T)=m_{B}c_{B}(T-T_{B})\\
\Longleftrightarrow m_{A}c_{A}T_{A}-m_{A}c_{A}T=m_{B}c_{B}T-m_{B}c_{B}T_{B}\\
\Longleftrightarrow (m_{A}c_{A}+m_{B}c_{B})T=m_{A}c_{A}T_{A}+m_{B}c_{B}T_{B}\\
\end{align}
となります。したがって熱平衡時の温度\(T\)は、
$$T=\frac{m_{A}c_{A}T_{A}+m_{B}c_{B}T_{B}}{m_{A}c_{A}+m_{B}c_{B}}$$
となります。

立てる式自体は意外と簡単なんだね!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

そうだね。
それにこの問題は超典型問題。しっかり解けるようにしておこうね!

まとめ

温かい物体と冷たい物体を接触させてしばらくすると、全体の温度が一定になる。
この状態を熱平衡という。

このとき、高温の物体Aが失った熱量と低温の物質Bが得た熱量は互いに等しい。
これを熱量の保存則という。
taniten
taniten

熱量の保存則は熱力学の中では、具体的な数字を使った計算問題が多いよ!

計算問題苦手だからな・・・。
せめて立式は間違えないようにしておかないと!

ふうた君
ふうた君

コメント

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