コンデンサーに誘電体を挟むと電気量が増える理由【比誘電率】

電磁気学
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taniten
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今回はコンデンサーに誘電体を入れるメリットを解説するね!

メリットなんてあるんだ。

ふうた君
ふうた君
taniten
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さらに合わせて比誘電率についても解説するよ。

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コンデンサーに電荷を蓄えてみる

導体板間が真空の場合

こちらの記事で解説したように、コンデンサーは電荷を蓄えることができる素子でしたね。

まずは誘電体を挟まず、導体板間が真空の場合を考えてみましょう。

コンデンサーの静電容量\(C\)は、導体板の面積\(S\)に比例し、導体板間の距離\(d\)に反比例します。
今は真空なので、誘電率は真空の誘電率\(\varepsilon_{0}\)となり、静電容量\(C\)は
$$C=\frac{\varepsilon_{0}S}{d}$$
となります。

静電容量が大きいほど、電荷をたくさん蓄えられるんだよね!

ふうた君
ふうた君

このコンデンサーに電位差\(V\)を加えると、導体板に蓄えられる電気量\(Q\)は
$$Q=CV=\frac{\varepsilon_{0}S}{d} V$$
となります。

したがって電位差\(V\)は
$$V=\frac{Q}{\varepsilon_{0}S} d$$
となります。

taniten
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次はこのコンデンサーに少し手を加えるよ!

横から誘電体を挿し込んでみる

上のコンデンサーに、誘電率\(\varepsilon\)の誘電体を挿し込んでみましょう。

下図のように繋いでいる電源を外して、誘電体を挿し込みます。

taniten
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電源を外しても、導体板間に蓄えられた電荷は無くならないことに注意しよう!

これによって導体板間の誘電率が\(\varepsilon\)に変わるので、導体板間の電位差\(V’\)は
$$V’=\frac{Q}{\varepsilon S} d=\frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon} V$$
と変化します。

誘電体を挟むだけで電位差が変わるんだね。

ふうた君
ふうた君

もう一度電源を繋いでみると・・・

この状態のコンデンサーにもう一度電位差\(V\)の電源を繋いでみましょう。

こうすると、コンデンサーの電位差が\(V’\)から\(V\)に変化します。つまり電気量\(Q\)が
$$Q’=\frac{\varepsilon S}{d} V$$
と変化するわけです。

taniten
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基本的に誘電体の誘電率\(\varepsilon\)は真空の誘電率\(\varepsilon_{0}\)よりも大きいから、\(Q<Q’\)となることが分かるね!

誘電体を挟むことで蓄えられる電気量が増えるんだね!

ふうた君
ふうた君

比誘電率\(\varepsilon_{\gamma}\)

最後に大事な量である比誘電率\(\varepsilon_{\gamma}\)について解説します。

比誘電率とは、誘電体の誘電率\(\varepsilon\)と真空の誘電率\(\varepsilon_{0}\)との比のこと、つまり
$$\varepsilon_{\gamma}=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}$$
です。

taniten
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普通の誘電率\(\varepsilon\)よりも比誘電率\(\varepsilon_{\gamma}\)の方がよく使われるよ!

この比誘電率を使えば、誘電体を挟んだ後の電気量\(Q’\)は挟む前の電気量\(Q\)と
$$Q’=\varepsilon_{\gamma} Q$$
の関係が成り立つことがわかります。

蓄えられる電気量が\(\varepsilon_{\gamma}\)倍になるんだね!

ふうた君
ふうた君

まとめ

コンデンサーに誘電体を挟むと、挟まないときに比べて蓄えられる電気量が\(\varepsilon_{\gamma}\)倍になる。
ここで
$$\varepsilon_{\gamma}=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}$$
で、\(\varepsilon_{\gamma}\)を比誘電率という。

コンデンサーに誘電体を挟むと良い理由がわかったよ!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

今回話した内容は受験問題でも出題されがちだよ!
式の流れを確認することを忘れずにね!

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