相対速度は一直線上じゃない、平面上で考えるんやで

力学
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taniten
taniten

今回は相対速度について解説していくよ!

相対速度ってなんかイメージ湧きづらくて苦手なんだよね・・・。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

そもそも速度という概念すら習いたての段階だからね。
今回は例題も交えて解説していくよ!

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相対速度とは?

taniten
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それでは相対速度とは何か、定義から見ていこう。

速度\(\vec{v_{A}}\)で動く物体Aから見た、速度\(\vec{v_{B}}\)で動く物体Bの相対速度\(\vec{v_{AB}}\)は、
$$\vec{v_{AB}} = \vec{v_{B}} – \vec{v_{A}}$$
である。

ここでよく間違えるのは、相対速度の定義が引き算の形をしているので、速さ同士の引き算をしてしまうことです。

ですが相対速度の定義で使われているのは速さではなく速度です。
単純な引き算ではなく、向きまで考えたベクトルとしての計算を行わなければなりません。

taniten
taniten

ベクトルに関しては以下の記事も参考にしてみてね。

ベクトルに関する事項は言葉で説明するよりも図を使って見た方がわかりやすいと思うので、早速ですが相対速度の例題を見ていきましょう。

相対速度の例題

ここでは、右向きつまり東向きを速度の正の向きとして考えてください。

(例題)
(1)東向きに\(10\,\mathrm{m/s}\)で進む車Bを、東向きに\(5\,\mathrm{m/s}\)で進む車Aからみた時の相対速度を求めよ。
(2)東向きに\(10\,\mathrm{m/s}\)で進む車Bを、西向きに\(5\,\mathrm{m/s}\)で進む車Aからみた時の相対速度を求めよ。
(3)東向きに\(10\,\mathrm{m/s}\)で進む車Bを、北向きに\(10\,\mathrm{m/s}\)で進む車Aからみた時の相対速度を求めよ。

まず(1)から。
東向きが正の向きなので、車Aも車Bも東向きに進んでいますから、どちらの車も速度の符号は正ということになりますね。

速度の符号が決まれば相対速度を計算するのは簡単です。車Aから見た時の車Bの相対速度\(\vec{v_{AB}}\)は、
$$\vec{v_{AB}} = \vec{v_{B}} – \vec{v_{A}} = 10-5 = 5\,\mathrm{m/s}$$
となります。
したがって、車Aから車Bを見ると、東向きに\(5\,\mathrm{m/s}\)で進んでいるように見えることになります。

実際の車の速度よりも遅く見えるんだね。

ふうた君
ふうた君

次に(2)です。
車Aは(1)と同じで東向きに進んでいますが、今度は車Bは西向きに進んでいます。
つまり、車Bの速度の符号は負ということになります。

この符号にさえ注意すれば、相対速度の計算は簡単に出来ます。車Aから見た時の車Bの相対速度\(\vec{v_{AB}}\)は、
$$\vec{v_{AB}} = \vec{v_{B}} – \vec{v_{A}} = 10-(-5) = 15\,\mathrm{m/s}$$
となります。
したがって今度は車Aから車Bを見ると、東向きに\(15\,\mathrm{m/s}\)で進んでいるように見えることになりますね。

符号が違うだけで、相対速度の計算結果がまったく違ってくることがわかると思います。

taniten
taniten

こっちは実際の速度よりも早く走っているように見えます。

最後に(3)です。
この問題は、図を描かないとイメージがしづらいです。

(1)と(2)では、車の運動を一直線上だけで考えることが出来ましたが、今回の場合は車Aが北向きに進んでますから、平面で考えなければいけないのです。

図で書くと下のようになります。

ベクトルの引き算は、僕は呪文のように「終点ー始点」!って覚えてました。
今の相対速度の式で言うと、「\(\vec{v_{B}} – \vec{v_{A}}\)」ですから、終点が\(\vec{v_{B}}\)の矢印の先端に、始点が\(\vec{v_{A}}\)矢印の先端になるように\(\vec{v_{AB}}\)を書いてやればいいのです。

図で見るとわかるように、\(\vec{v_{AB}}\)の長さは\(10\sqrt{2}\simeq 14\)で、向きは南東ですね。

したがって、車Aから車Bを見ると、南東向きに\(14\,\mathrm{m/s}\)で進んでいるように見えることになります。

ベクトルを使わないとこの問題は解けないね・・・。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

繰り返しますが、相対速度は「速度」です。
慣れるまできちんと図を描いて確認するようにしましょう!

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