電場の重ね合わせを図で解説!

電磁気学
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taniten
taniten

今回は電場の重ね合わせを解説するよ!

普通に足し算するんじゃダメなの?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

ただの足し算じゃあダメ。
ベクトルの足し算を考えないといけないんだよ。

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電場の重ね合わせ

電場をベクトルで表す

前回の記事で、電場についての解説をしました。

前回はベクトル表記しませんでしたが、電場は向きを持っているのでベクトルで表記する必要があります。

つまり電荷\(q\)が距離\(r\)の位置に作る電場\(\vec{E}\)は、
$$\vec{E}=k\frac{q}{r^{2}} \cdot \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}$$
となります。

taniten
taniten

???
という人は、ベクトル\(\vec{r}\)の単位ベクトルが\(\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\)であることを思い出そう。

距離\(r\)の位置で、大きさ\(k\frac{q}{r^{2}}\)の電場が、\(\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\)の向きに働くんだね!

ふうた君
ふうた君

電場のベクトルを足してみよう

では実際に、2つの電荷が作る電場を重ね合わせてみましょう。

図のように座標\((0,a)\)、\((0,-a)\)に電荷\(q\)が置かれています。このとき、\(x\)軸上にできる電場を求めてみましょう。

座標\((0,a)\)にある電荷が作る電場を\(\vec{E_1}\)、\((0,-a)\)にある電荷が作る電場を\(\vec{E_2}\)とおきます。

この電場と\(x\)軸がなす角を\(\theta\)とおきましょう。

taniten
taniten

ベクトルの合成を考える時は、成分ごとに考えるようにしましょう。

それぞれの電場\(\vec{E_1}\)、\(\vec{E_2}\)を\(x\)成分と\(y\)成分に分解して、それぞれの大きさを考えましょう。

\(\vec{E_1}\)と\(\vec{E_2}\)のどちらも、大きさは\(\displaystyle k\frac{q}{x^{2}+a^{2}}\)となり、それぞれの成分は\(x\)軸とのなす角\(\theta\)で表すことができます。

\(x\)成分はそれぞれ、
\begin{align}
E_1x=k\frac{q}{x^{2}+a^{2}}\cos \theta = k\frac{q}{x^{2}+a^{2}} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\\
E_2x=k\frac{q}{x^{2}+a^{2}}\cos\theta=k\frac{q}{x^{2}+a^{2}} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}
\end{align}
となります。

これらより、重ね合わせた電場の\(x\)成分は、
$$2k\frac{q}{x^{2}+a^{2}} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}$$
となります。

また、重ね合わせた電場の\(y\)成分は、
$$-k\frac{q}{x^{2}+a^{2}}\sin\theta+k\frac{q}{x^{2}+a^{2}}\sin\theta=0$$
となります。

つまり、重ね合わせた結果の最終的な電場は\(x\)成分しかもたないことがわかります。

成分ごとに分解して、それぞれを足せばいいだけなんだね!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

電場に限らず、ベクトルの足し算は常にこのようにやっていくよ!
しっかり身につけておこう!

まとめ

2個以上の電荷が配置されているとき、電場はそれぞれの電荷が作る電場のベクトル的な足し算となる。
これを電場の重ね合わせという。

ベクトルの重ね合わせは、ベクトルをそれぞれの成分に分解して各成分で輪を取れば良い。
taniten
taniten

やっていることは単純なベクトルの足し算だから、あまり難しく考えないようにね!

電場の式と一緒にマスターしておこう!

ふうた君
ふうた君

コメント

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