テイラー展開とマクローリン展開の関係とは!?

物理数学
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taniten
taniten

今回はテイラー展開マクローリン展開を解説していくよ!

大学の物理でよく出てくるあの長い式のことだね!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

そう。大学の物理では絶対に必要な知識だから、しっかり式の形を確認しておこう!

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テイラー展開

前回のテイラーの定理によると、区間\([a,b]\)で定義された関数\(f(x)\)があるときは、
$$f(b)=\sum_{k=0}^{n-1} f^{(k)}(a)\frac{(b-a)^{k}}{k!}+R_{n}$$
という式が成り立つんでしたね。

最後の項は剰余項だね!

ふうた君
ふうた君

ここで\(f(x)\)が無限回微分可能で\(\lim_{n \to \infty} R_{n}=0\)であるとき、次のテイラー展開の式を得ることができます。

テイラー展開
$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f^{\prime \prime}(a)\frac{(x-a)^{2}}{2!}+\cdots+f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^{n}}{n!}+\cdots$$

最後が点々になっているけど、この後も式が続いていくの?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

このあとは無限に続いていくので、右辺を無限級数と呼ぶよ。
\(n\)が無限に近づくほど剰余項\(R_{n}\)が\(0\)に近づくので、この式を立てることができるんだ。

マクローリン展開

上のテイラー展開において、\(a=0\)の場合が非常によく用いられます。
この場合は特殊な名前がついていて、マクローリン展開と呼ばれます。

マクローリン展開
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+f^{\prime \prime}(0)\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+f^{(n)}(0)\frac{x^{n}}{n!}+\cdots$$

式がすっきりしていて、こっちの方が覚えやすそう!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

マクローリン展開の方が計算で使う場面は多いような気がするよ。
次回の記事で具体的な関数のマクローリン展開を見ていこう!

コメント

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