テイラーの定理を証明してみよう!

物理数学
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taniten
taniten

今回はテイラーの定理を解説していくよ!

今回も難しそうな予感がするね・・・。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

式の形は複雑だけど、1つ1つ追っていけば必ず分かるようになるよ!

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テイラーの定理

テイラーの定理
区間\([a,b]\)で定義されている関数\(f(x)\)があるとき、
$$f(b)=\sum_{k=0}^{n-1} f^{(k)}(a)\frac{(b-a)^{k}}{k!}+R_{n}$$
$$R_{n}=f^{(n)}(c)\frac{(b-c)^{n-p}(b-a)^{p}}{p(n-1)!}$$
を満たす\(c\)が\((a,b)\)内に少なくとも1つ存在する。ただし\(p\)は\(n\)を超えない任意の正の数で、特に\(p=n\)のとき\(R_{n}\)は
$$R_{n}=f^{(n)}(c)\frac{(b-a)^{n}}{n!}$$
となる。

わああ、何が何だかわからないよ〜!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

初見だとそうなるよね。
証明の前に具体的に\(n\)を設定した場合を考えてみよう!

テイラーの定理のようす

テイラーの定理\(\displaystyle f(b)=\sum_{k=0}^{n-1} f^{(k)}(a)\frac{(b-a)^{k}}{k!}+R_{n}\)の中で自由に変えられるのは\(n\)なので、この部分に具体的な数値を当てはめてみましょう。

\(n=1\)の場合

\(n=1\)のとき、テイラーの定理の式は、
$$f(b)=f(a)+f'(c)(b-a)$$
となります。

あれ?これって前回やった平均値の定理と同じ形じゃない?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

よく気づいたね!
テイラーの定理の\(n=1\)の場合は、平均値の定理を表しているんだよ。

\(n=2\)の場合

\(n=2\)のとき、テイラーの定理の式は
$$f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+f^{\prime \prime}(c)\frac{(b-a)^{2}}{2!}$$
となります。

taniten
taniten

これが何を表しているかはまだ分からなくてもいいけど、とりあえず\(n=2\)までのテイラーの定理の式は導出できるようにしておこう!

テイラーの定理の証明

それではロルの定理を用いて、テイラーの定理を証明してみましょう!

【証明】
次式を満たすような定数\(A\)を取ってくる。
$$f(b)=\sum_{k=0}^{n-1} f^{(k)}(a)\frac{(b-a)^{k}}{k!}+A(b-a)^{p}$$
ここで、
$$F(x)=f(b)-\sum_{k=0}^{n-1} f^{(k)}(x)\frac{(b-x)^{k}}{k!}-A(b-x)^{p}$$
とおくと、\(F(a)=F(b)=0\)である。
したがってロルの定理より、\(F'(c)=0\)となる\(c\)が\((a,b)\)内に少なくとも1つ存在する。ここで、
$$F'(x)=-\sum_{k=0}^{n-1} f^{(k+1)}(x)\frac{(b-x)^{k}}{k!}+\sum_{k=1}^{n-1} f^{(k)}(x)\frac{(b-x)^{k-1}}{(k-1)!}+Ap(b-x)^{p-1}$$

であるから、シグマの部分は第1項の\(k=n-1\)のときだけが残る。よって、
$$F'(x)=-f^{(n)}(x)\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}+Ap(b-x)^{p-1}$$
となる。\(F'(c)=0\)を用いれば、
$$A=f^{(n)}(c)\frac{(b-c)^{n-p}}{p(n-1)!}$$
を得る。
したがって、この\(A\)を初めの式に代入すれば、
$$f(b)=\sum_{k=0}^{n-1} f^{(k)}(a)\frac{(b-a)^{k}}{k!}+f^{(n)}(c)\frac{(b-c)^{n-p}(b-a)^{p}}{p(n-1)!}$$

を得る。

関数の定義の仕方が独特だけど、ロルの定理を使うだけですっきりと証明することができたね!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

ロルの定理は偉大だね。
ちなみに\(R_{n}\)は剰余項といって、特に\(p=n\)のときはラグランジュの剰余項という名前がついているよ。

\(\displaystyle R_{n}=f^{(n)}(c)\frac{(b-c)^{n}}{n!}\)がラグランジュの剰余項ってことだね!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

次回はこの定理を発展させた、テイラー展開マクローリン展開を解説するよ!

コメント

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