金属板の長さ変化を線膨張率から計算する問題

熱力学
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taniten
taniten

今回は熱膨張の問題を取り扱ってみるよ。

なんか教科書とかであっという間に終わるあの項目ですね。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

まああんまり試験に出ることはないんで、この項目に関しては今回の問題で終わらせちゃおう。

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問題

 図のように、厚さ\(d\)の帯状の金属A,Bを密着し、その両端を接着する。金属A,Bの線膨張率をそれぞれ\(\alpha_{\rm A}\),\(\alpha_{\rm B}\) \((\alpha_{\rm A}<\alpha_{\rm B})\)とする。この金属を温めて、温度を\(t\)だけ上昇させたところ、金属板は反ってAとBの接触面の断面が半径\(r\)の弧になった。金属板の厚さ\(d\)は十分に小さいものとし、厚さの変化は無視する。このとき、線膨張を考えることによって、\(r\)を\(d,t,\alpha_{\rm A},\alpha_{\rm B}\)を使って表せ。

ひえ〜。なんか難しそう・・・。

ふうた君
ふうた君

解説

必要な知識

物質に熱を加えると、膨張して体積が大きくなる。
熱膨張には体積が増加するものと、長さが増加するものがある。

温度が\(t\)から\(\mathit{\Delta} t\)だけ上昇するのに伴って、体積が\(V\)から\(\mathit{\Delta} V\)だけ増加し、
$$\frac{\mathit{\Delta} V}{V} = \beta \mathit{\Delta} t$$
が成り立つ時、\(\beta\)を体膨張率という。

同様に、温度変化\(\mathit{\Delta} t\)で物体の長さが\(l\)から\(\mathit{\Delta} l\)だけ増加し、
$$\frac{\mathit{\Delta} l}{l} = \alpha \mathit{\Delta} t$$
が成り立つ時、\(\alpha\)を線膨張率という。

周りの温度や圧力などの変化が小さければ、\(\alpha,\beta\)は一定とみなすことができる。特にその値が小さい固体や液体などの物質については、基準温度における体積\(V_{0}\)、長さ\(l_{0}\)を決めて、温度\(t\)における物体の体積\(V\)と長さ\(l\)を
$$V = V_{0}(1+\beta t),\quad l = l_{0}(1+\alpha t)$$
と表すことができる。

基準温度は問題ごとに設定すれば良い。
例えば、温度\(0\)から\(\mathit{\Delta} t\)だけ上昇するときは、基準温度を\(0\)にして上式を考えれば良い。

taniten
taniten

高校物理の範囲では、周りの温度変化や圧力変化、物体の体膨張率や線膨張率の変化は考慮に入れないことがほとんどなので、安心して上式を使うことができますよ。

解答

温められたことによって金属の厚さは変化せず、両端は接着しているので、下図のように金属板を見込む角度\(\theta\)は、半径によらず一定になる。

したがって、温度が\(t\)上昇した後の金属板の長さに対する半径の比は等しいので、初めの金属板の長さを\(l\)とすると、
\begin{align}
& \qquad \frac{l(1+\alpha_{\rm A} t)}{r-\frac{d}{2}} = \frac{l(1+\alpha_{\rm B} t)}{r+\frac{d}{2}}\\
& \Longleftrightarrow \left(r+\frac{d}{2}\right)(1+\alpha_{\rm A} t) = \left(r-\frac{d}{2}\right)(1+\alpha_{\rm B} t)\\
& \Longleftrightarrow r(\alpha_{\rm A} t-\alpha_{\rm B} t) = -d \left(1+\frac{\alpha_{\rm A} t+\alpha_{\rm B} t}{2}\right)\\
& \Longleftrightarrow r = \frac{d}{\alpha_{\rm B} -\alpha_{\rm A} } \left(\frac{1}{t} + \frac{\alpha_{\rm A} + \alpha_{\rm B}}{2} \right)
\end{align}
となる。

taniten
taniten

熱膨張の問題は入試で取り上げらているところはあまり見かけませんが、熱力学の初めに出てくる問題です。
教科書の例題レベルの問題であれば、解けるようにしておきましょう。

スタートダッシュをしっかり切ることは大事だよね!

ふうた君
ふうた君

コメント

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