位置ベクトルや速度ベクトルなど物理学で使うベクトルを解説!

力学
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taniten
taniten

今回は大変だ〜
ベクトルについて解説していくゾ〜

ベクトル?数学で少しやりましたけど物理でも出てくるんですか?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

日常に溢れているほとんどの運動を記述するときに、ベクトルは必要不可欠なんだよ。
とにかく早速やっていこう!

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平面内におけるベクトル

私たちの身の回りの物体の運動は、等速直線運動や等加速度直線運動のような一直線上の運動ではなく、ほとんど3次元の空間的な領域の運動ですよね。

このように直線的ではない運動はベクトルという考え方を用いることで、一直線上の運動に落とし込んで簡単に計算が行うことができます。

先ほども書いた通り、日常に溢れる物体の運動は3次元的なものが基本なので、ベクトルも3次元で考えるのが一般的なんですが、高校力学の範囲内では2次元のベクトルまでしか教科書では出てきません。

taniten
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つまりこれから出てくるほとんどの力学の運動は、2次元すなわち平面内における運動として扱う事ができるということですね。

それでは平面内の運動を表すベクトルがどのように表されるのかみていきましょう。

上の図は平面内にある物体の位置を、\(x-y\)座標を使って表している様子です。

高校物理では平面内の運動を考えるとき、\(x-y\)座標のように互いの軸が垂直に交わっている直交座標を使うのが普通です。
\(x-y\)座標を使えば、図のように物体の位置を座標の形で表す事ができて、分かりやすいですよね。

これに加えて、物理で考える物体は運動しているので、時間とともに物体の座標は変化していきます。

ここで位置ベクトルというベクトル\(\vec{r}\)を導入すると、物体の位置の変化が非常に分かりやすくなります。

位置ベクトルは始点を原点に、終点を物体の座標にとったベクトルのことで、図のような矢印で表します。
また、ベクトルは座標としても表示することができるので、位置ベクトルは単純に物体の位置の座標として表す事ができますね。

taniten
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座標の変化、つまり位置ベクトルの変化をみることで、物体の変位がわかるようになるのです。

どのタイミングでもどこにあるかが分かるのはとても便利ですね!

ふうた君
ふうた君

次に、物体の速度や加速度を表すベクトルを見ていきましょう。

とはいっても、速度ベクトルや加速度ベクトルの厳密な定義を説明しようとすると、微分の知識が必要になるのでここでは詳しく話しません。

一つだけ覚えておいて欲しいことは、速度ベクトルと加速度ベクトルの向きが一致していれば直線運動をし続け、速度ベクトルと加速度ベクトルの向きが一致していなければ、物体の運動は直線から外れるということです。

なんのこっちゃ

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

これは図で説明した方が分かりやすいと思うので、グラフを2つ用意してみたよ。

どちらも平面内を運動している物体の様子を描いたもので、点線が物体の軌道を表しています。

物体から伸びている赤色のベクトル\(\vec{v}\)がその座標における物体の速度ベクトルで、橙色のベクトル\(\vec{a}\)がその物体の加速度ベクトルを表しています。

左側の図では速度ベクトル\(\vec{v}\)と加速度ベクトル\(\vec{a}\)の向きが一致しているので、物体は直線運動を続けます。
言うまでもありませんが、物体は等加速度直線運動をすることになりますね。

一方、右側の図では速度ベクトル\(\vec{v}\)と加速度ベクトル\(\vec{a}\)の向きが一致していませんね。
この場合、物体の軌道は直線上から外れて、曲線的な軌道を描くことになります。

ちなみにこれは先の方で勉強しますが、地球が太陽の周りを回るように物体が円運動をする時、物体には円の中心方向に加速度がはたらきます。

速度ベクトルと加速度ベクトルの向きが同じかそうでないかで、物体の運動が直線的なものなのか、直線的ではないのか判断できるんだね!

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

そうなんすよ。
だから場合によって扱いやすい座標系を設定することもできちゃう。

速度の合成と分解

taniten
taniten

これまで話してきたことよりも、次に話す速度の合成と分解の話の方がテストに出やすいかもしれないです。

「速度の合成と分解」とはどういうことかというと、速度ベクトルの合成と分解ということです。
2つ以上の速度ベクトルが存在するときにそれらを合成して1つにしたり、あるいは1つのベクトルを2つに分解したりするということです。

まず速度ベクトルの合成について説明します。川を横断する船を岸から眺めている例を考えてみましょう。

図のように、川に対して船が速度\(\vec{u}\)で進んでいるとき、その川の流れが速度\(\vec{v}\)であったとします。このとき岸にいる人から見た時の船の速度\(\vec{w}\)は、川の流れの速度と船の速度を合成した速度になります。

すなわち、
$$\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$$
となります。

taniten
taniten

川の流れがなければ、岸から見た船の速度は\(\vec{u}\)のままなんだけど、川の流れという別の速度ベクトルが船に加わることによって、岸から見た時の船の速度が変わるんだね。

船の速度メーターと岸から見たときの船の速度が違うってことだね。
なんか不思議ですね。

ふうた君
ふうた君

このとき、川の流れがあろうがなかろうが、船の速度は川に対して常に\(\vec{u}\)であることに注意しましょう。
岸から見た船の速度は川の流れの速度で変わってしまいますが、船の中にいる人から見た速度は\(\vec{u}\)で変わらないのです。

次に速度の分解について説明します。

とはいっても速度の分解も上の図で説明できて、岸から見た船の速度は\(\vec{w}\)になっていますが、実際には川に対する船の速度\(\vec{u}\)と川の速度\(\vec{v}\)の合成でできています。

したがって\(\vec{w}\)は、\(\vec{u}\)と\(\vec{v}\)の2つの速度ベクトルに分解できるとみなせます。

今回は速度ベクトルの合成・分解を説明しましたが、物体に作用している力を合成・分解する方が、これから頻繁に出てきます

う〜ん・・・。
なんか難しかったなあ、これから物理ちゃんとわかるかなあ・・・。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

大丈夫!理解してから勉強し始めるより、勉強する中で理解していけばいいと思うよ!
それにベクトルの合成・分解なんて物理やってるうちに自然とできるようになるから。

よかった〜(泣)
ある程度物理を学んで、基本的なことを学び直したくなったら、またこの記事に戻ってくることにするね!

ふうた君
ふうた君

コメント

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