鉛直投げ上げ運動の公式をグラフで分かりやすく解説!

力学
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taniten
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今回は鉛直投げ上げ運動について解説していくよ!

授業でやったんだけど、符号の対応がイマイチよく分からなかったんだよね・・・。

ふうた君
ふうた君
taniten
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等加速度直線運動の公式と、重力加速度の符号に気をつけて、丁寧に解説していくね!

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鉛直投げ上げ運動とは?

まず鉛直投げ上げとはどのような運動なのか説明します。
次のような場面を想像するとわかりやすいと思います。

地面に立っている皆さんが、真上にボールを投げたところを想像してください。

うまく投げることができれば、ボールは皆さんの真上、すなわち鉛直上向きにしばらくの間進んでいきます。

しかし時間が経つにつれてだんだん速度が遅くなっていき、やがてボールは皆さんのいるところへ落下してきます。

このような一連のボールの運動を鉛直投げ上げ運動と言います。

taniten
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垂直に真上に投げた場合のみ鉛直投げ上げと呼ばれるよ、

鉛直投げ上げ運動の公式

それでは前回の自由落下の時と同じように、鉛直方向に座標\(y\)をとって時刻\(t\)における物体の速度\(v\)と変位(座標)\(y\)を求めてみましょう。

図のように、鉛直投げ上げ運動を考える時は鉛直上向きを座標の正方向にとることが多いです。

また自由落下との違いは、初めにボールを投げる時に初速度\(v_{0}\)が必要であることです。

座標の正の向きに対して重力加速度は逆向きに働くから、重力加速度の向きは負になるんだよね!

ふうた君
ふうた君

自由落下の記事はこちらからご覧いただけるので、まだ見ていない方はぜひ見てくださいね。

それでは鉛直投げ上げの公式を導出してみましょう。

といっても初速度\(v_{0}\)と加速度\(-g\)が分かっていれば、等加速度直線運動の公式に代入するだけです。

等加速度直線運動の公式は、次のように表されるのでした。

時刻\(t = 0\)において初速度\(v_{0}\)の物体が、一定の加速度\(a\)で運動しているとき、時刻\(t\)のときの速度\(v\)と変位\(\Delta x\)は、
$$v=v_{0}+at~~~~\Delta x = v_{0}t+\frac{1}{2} gt^{2}$$
となる。
またこれらより、速度と変位のみの関係式
$$v^{2}-v_{0}^{2} = 2ax$$
を得る。

この公式がまだ曖昧な方は、下の記事を参照してみてください。

時刻\(t=0\)で原点から鉛直上向きに物体を投げ上げた時、時刻\(t\)における物体の速度\(v\)と変位(座標)\(y\)は、それぞれ、
\begin{align}
&v = v_{0} – gt\\
&y = v_{0}t – \frac{1}{2} gt^{2}
\end{align}

となります。

また、これらの式から速度と変位の関係式も導出できて、
$$v^{2} – v_{0}^{2} = -2gy$$
という式が得られます。

taniten
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これで公式の導出自体は終わりなのですが、運動の様子をより理解するために、グラフを書いて考えてみることにしましょう。

鉛直投げ上げ運動のグラフ

\(v-t\)グラフ

まずは\(v-t\)グラフを使って物体の速度変化の様子を見ていきましょう。

\(v-t\)グラフについての理解が曖昧な方は、以下の記事を参考にしてみてください。

先ほど導出したとおり、鉛直投げ上げ運動の時刻\(t\)における速度\(v\)は\(v=v_{0}-gt\)で表されます。

これを\(v-t\)グラフで表すと、以下のようになりますね。

このグラフから、時刻\(t=\frac{v_{0}}{g}\)のときに速度が0になり、ボールの高さが最も高くなることがわかります。

またボールが投げた地点に再び戻ってくる時刻は\(t=\frac{2v_{0}}{g}\)であり、この時の速度は\(-v_{0}\)となります。

\(v-t\)グラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積は、変位を表すのでした。

時刻\(t=0\)から\(t=\frac{v_{0}}{g}\)の間における面積は、\(\frac{v_{0}^{2}}{2g}\)となりますので、ボールの最高到達点は\(y=\frac{v_{0}^{2}}{2g}\)となりますね。

taniten
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グラフが何を表しているのか、どういう意味があるのか、整理して覚えておきましょう。

\(y-t\)グラフ

次に\(y-t\)グラフを使って物体の変位をみていきましょう。

なお、\(y-t\)グラフという言葉は初めてだと思いますが\(x-t\)グラフと全く同じなので畏怖しなくて大丈夫です。

\(x-t\)グラフについては、以下の記事も参考にしてみてください。

鉛直投げ上げ運動の時刻\(t\)における変位\(y\)は\(y = v_{0}t – \frac{1}{2} gt^{2}\)で表されます。
グラフで表すと以下の通りになります。

グラフのように、物体の変位は放物線を描きます。

このグラフから、ボールは時刻\(t=\frac{v_{0}}{g}\)で\(y=\frac{v_{0}^{2}}{2g}\)の最高点に到達することがわかります。

これらは先ほど\(v-t\)グラフの面積から求めた値と一致していますね。

グラフを使えば鉛直投げ上げ運動の様子を詳しく理解することができるね!

ふうた君
ふうた君

それでは最後にまとめをしておきましょう。

時刻\(t=0\)で原点から鉛直上向きに物体を投げ上げた時、時刻\(t\)における物体の速度\(v\)と変位(座標)\(y\)は、それぞれ、
$$v=v_{0}-gt~~~~~y = v_{0}t – \frac{1}{2} gt^{2}$$
となる。また、速度と変位の関係式
$$v^{2} – v_{0}^{2} = -2gy$$
を得る。
投げ上げた物体の最高到達点は\(\displaystyle y=\frac{v_{0}^{2}}{2g}\)であり、その時刻は\(\displaystyle t=\frac{v_{0}}{g}\)である。
taniten
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鉛直投げ上げの問題は試験でよく出る上に、入試で応用されて出されることもあるので、ぜひともマスターしておきましょう!

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