v-tグラフの面積が物体の変位を表す件について

力学
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taniten
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今回は\(v-t\)グラフについて解説していくよ!

前回やった\(x-t\)グラフと名前が似ていますね・・・。
混同しないようにしっかり理解するぞ〜!

ふうた君
ふうた君
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\(v-t\)グラフの面積は変位を表す!

前回の記事で書いた\(x-t\)グラフは縦軸に位置\(x\)、横軸に時刻\(t\)をとり、物体の位置変化を表していました。

一方\(v-t\)グラフは縦軸に速度\(v\)、横軸に時刻\(t\)をとったもので、運動する物体の速度変化を表すグラフです。
以下に\(v-t\)グラフの例を示します。

この\(v-t\)グラフで表している運動は、前回の\(x-t\)グラフの記事で例として取り扱った運動と同じ運動を表しています。

この\(v-t\)グラフ、どの時間帯でも横軸と平行になっていますね。

ふうた君
ふうた君
taniten
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そうだね。
これはそれぞれの時間で一定の速度で運動(等速直線運動)していることを表しているんだよ。

ここで最も重要な\(v-t\)グラフの最大の特徴は、グラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積が、その間の物体の変位を表すということです。

それではそれぞれの時間ごとの運動を見ていきましょう!

 1:時間\(0 \sim t_{1}\)のとき

グラフから、\(0 \sim t_{1}\)の間は一定の速度\(v_{1}\)で運動していることが分かります。

ここで、この間のグラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積を考えてみましょう。

\(0 \sim t_{1}\)の間において、グラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積は、\(v_{1}t_{1}\)となります。
これは等速直線運動の移動距離を求める式と同じ形をしているので、この間の物体の変位\(\Delta x_{1}\)は、\(v_{1}t_{1}\)となります。

taniten
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ところでふうた君、この物体は座標の正の方向と負の方向のどちらに移動しているか分かるかな?

えっ!どっち方向に動いてるかなんてこのグラフから分かるんですか?

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

実は分かるんですよこれが。

見分けるポイントは速度の符号です。
速度は物体の運動の速さとともに、運動の向きも符号という形で表す事ができるんでしたね。

\(v-t\)グラフから分かるように、この時間の間の速度\(v_{1}\)は常に正の値ですよね。
したがって、物体は座標の正の方向に運動している事がわかるわけです。

このように\(v-t\)グラフからは、速さ、向き、変位(今後解説しますが加速度も)など、物体の運動を表す様々な情報を読み取る事ができます。

なるほど!
速度が常に正の値だから、座標の正方向に運動していることになるんだね!

ふうた君
ふうた君

 2:時間\(t_{1} \sim t_{2}\)のとき

\(t_{1} \sim t_{2}\)の間において、グラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積、つまり物体の変位\(\Delta x_{2}\)は、グラフより0となります。

したがって、この間の物体の変位は0であり、物体は静止していることがわかります。

 3:時間\(t_{2} \sim t_{3}\)のとき

\(t_{2} \sim t_{3}\)の間において、グラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積、つまり物体の変位\(\Delta x_{3}\)は、\(v_{3}(t_{3}-t_{2})\)となります。

ここで物体の運動の方向を考えてみましょう。
\(v-t\)グラフから分かるように、今度はこの時間の間の速度\(v_{3}\)は常に負の値なので、物体は座標の負方向に運動していることがわかります。

ここで違和感を感じた方がいるかもしれませんが、先ほど求めた面積の\(v_{3}(t_{3}-t_{2})\)は\(v_{3}<0\)、\(t_{3}-t_{2}>0\)なので面積は負の値になりますよね。
面積って普通、正の値しかとらないじゃないですか。なのに負の値になってもいいのかと、疑問に思っている方、実はこのような疑問を無くすために、\(v-t\)グラフと\(t\)軸で囲まれた部分が、\(t\)軸より下側にある場合は、その面積の符号を負で表すということになっています。

こうすれば、\(v-t\)グラフだけで物体の変位を正負の符号付きで表現することが可能になります。

taniten
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グラフの面積が負になる、そういうこともあるさ。

\(v-t\)グラフと\(x-t\)グラフの違い

今回説明した\(v-t\)グラフと、前回説明した\(x-t\)グラフの違いを簡単にまとめておきましょう。

  • \(x-t\)グラフ

\(x-t\)グラフの傾きは物体の速度を表しており、傾きが正なら正方向、傾きが負なら負方向への運動をしていることになります。
\(t\)軸に平行なら、物体は静止していることになります。

  • \(v-t\)グラフ

\(v-t\)グラフと\(t\)軸で囲まれた部分の面積は、物体の変位を表しています。
\(t\)軸の上側の部分の面積は符号が正、下側の部分の面積は符号が負として考えます。
このようにすることで、物体が座標軸に対してどちらの方向に運動しているかを、面積で表現することが可能になります。

taniten
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似たような名前のグラフが複数出てくると混同しがちですが、それぞれのグラフの特徴を一つ一つ押さえて、着実に理解を深めていきましょう!

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