x-tグラフの傾きは速度を表しているのです!

力学
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taniten
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今回は\(x-t\)グラフについて解説していくよ!

グラフかあ・・・。正しく読み取れるかどうか不安だなあ。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

大丈夫!慣れれば難しくないし、グラフを使うことで、物体の運動がめちゃくちゃ分かりやすくなるんだよ!

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\(x-t\)グラフの傾きは物体の速度を表す!

前回は等速直線運動する物体の速さと速度についての記事を書きました。

速度は移動した距離\(\Delta x\)と移動に要した時間\(\Delta t\)から求めることができるんだったね!

ふうた君
ふうた君

このように、時間とともに物体の位置が変化するような運動を考えるときは、\(x-t\)グラフを用いれば、物体の速度がわかりやすくなります

それでは\(x-t\)グラフの例を見てみましょう。

\(x-t\)グラフは上のように横軸に時間\(t\)、縦軸に位置\(x\)をとったものです。

taniten
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ちなみにこれからも「◯-t図」という名前のものが出てきますが、その場合はいずれも横軸が\(t\)だからね。

それでは上の\(x-t\)グラフが表す物体の運動を、時間ごとに見ていきましょう。
具体的にどのような運動がわかるのかいうと、実は\(x-t\)グラフのグラフの傾きを調べることで物体の速度がわかるのです!

 1:時間\(0 \sim t_{1}\)のとき

時間\(0 \sim t_{1}\)の間は、グラフが右上がりになっていますね。
このグラフの傾きを調べます。

変位\(\Delta x\)と経過時間\(\Delta t\)は、それぞれ
\begin{align}
& \Delta x = x_{1} – x_{0}\\
& \Delta t = t_{1} – 0 = t_{1}
\end{align}
となります。

これより、この間のグラフの傾きは、
$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{1} – x_{0}}{t_{1}}$$
となります。

この式は速度を求める式と全く同じ形だね

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

そう。つまり\(x-t\)グラフの傾きが速度を表していることが分かるね。

じゃあこの間の速度は\(\displaystyle v_{1} = \frac{x_{1} – x_{0}}{t_{1}}\)とってことだね!
グラフの傾きから速度が分かるなんて便利だね!

ふうた君
ふうた君

前回やったように、速度はその符号が正ならば、座標の正方向への運動を表します。
今求めた速度\(v_{1}\)は\(x_{1} – x_{0} > 0\)、\(t_{1} > 0\)であるから、\(v_{1} > 0\)となります。
したがって、物体は下図のように座標上の正の方向に進んでいるということになります。

taniten
taniten

座標の正方向と速度の正方向は同じ向きだったね。

 2:時間\(t_{1} \sim t_{2}\)のとき

時間\(t_{1} \sim t_{2}\)の間は、グラフが\(t\)軸と平行になっています。
この間は調べるまでもなくグラフの傾きは0、すなわち速度が0なので時刻\(t_{1} \sim t_{2}\)の間は静止していることになります。

グラフの傾きが0だから速度も\(v_{2} = 0\)だね!

ふうた君
ふうた君

 3:時間\(t_{2} \sim t_{3}\)のとき

時間\(t_{2} \sim t_{3}\)の間は、グラフが右下がりになっていますね。
このグラフの傾きを調べます。

変位\(\Delta x\)と経過時間\(\Delta t\)は、それぞれ
\begin{align}
& \Delta x = x_{2} – x_{1}\\
& \Delta t = t_{3} – t_{2}
\end{align}
となります。

これより、この間の速度\(v_{3}\)は
$$v_{3} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{2} – x_{1}}{t_{3} – t_{2}}$$
となります。

今求めた速度\(v_{3}\)は\(x_{2} – x_{1} < 0\)、\(t_{3} – t_{2} > 0\)であるから、\(v_{3} < 0\)となります。
したがって、今度は下図のように座標上の負の方向に進むということになります。

傾きが負だから、速度も負になるんだね。

ふうた君
ふうた君

繰り返しになりますが以上からもわかる通り、\(x-t\)グラフの傾きは物体の速度を表しています。
グラフの傾きが正なら正方向、負なら負方向に運動しており、傾きが0なら静止していることになります。

グラフの形を見るだけでどんな動きをしているかわかるので、ぜひとも覚えておきましょう!

taniten
taniten

ちなみに等加速度直線運動のような変位が時間の2乗に比例する運動では、\(x-t\)グラフは2次関数になります。

平均の速度と瞬間の速度

taniten
taniten

今回は合わせて平均の速度瞬間の速度についても説明しておくね。

  • 平均の速度

初めの位置と終わりの位置の座標と時刻だけを使って考えた速度を、平均の速度といいます。

上の\(x-t\)図における平均の速度\(\bar{v}\)は、
$$\bar{v} = \frac{x_{2} – x_{0}}{t_{3}}$$
となります。

平均の速度は途中の詳細な速度変化を考える必要がなく、最初と最後の位置の変位をとるため、変位の正負で平均の速度の正負が決まることになります。

  • 瞬間の速度

瞬間の速度は、十分に短い時間\(\Delta t\)の間の変位を\(\Delta x\)とすると、\(\displaystyle v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\)となり、前回の記事で説明した速度の式と同じ形の式で表されます。

が、強調しているように瞬間の速度は非常に短い時間における速度なので、運動している物体の瞬間瞬間の速度を表すことになります。

この瞬間の速度を考える必要があるのは、\(x-t\)グラフが曲線で表されるような運動の場合で、このような場合のある点における速度は、その点における接線の傾きになります。

この接線の傾きが上で示した瞬間の速度になるのです。

う〜ん・・・。少し難しいかも・・・。

ふうた君
ふうた君
taniten
taniten

少し数学Ⅲの内容と絡んでるからね。
今は平均の速度と瞬間の速度という2種類の速度の表し方があるということだけ覚えておけば大丈夫!

コメント

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